Группировка исходных данных.

     Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через n_I количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ån_I = n.

      Отметим, что критерий c²  будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. n_i ³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

     Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i , где z₁ < z₂ < … < z_{i – 1} , т.е. само разбиение имеет вид

            (- ¥ º z₀; z₁) , [ z₁; z₂) , [ z₂; z₃) , … , [ z_{i – 1}; z_i  º + ¥).

     После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

Вычисление теоретических частот.

   Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты n_I определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

                                         = n × p_i ,

где n – количество испытаний, а p_i º R (z_{i –1} < x < z_i) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £ i £ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице:                                  _

                                            n = 1 0 0; а=x = 15,9 ; σ = s=7,33

                                                                                                å: 1,0000   1 0 0 ,00                        

Статистика c² и вычисление ее значения по опытным данным.

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

  В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

                                       ,

называемая статистикой «хи - квадрат» или  статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда c² ³0, причем c² = 0, тогда и только тогда, когда  при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c² ¹ 0; при этом значение c² тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

    Прежде чем рассказать о применении статистики c² к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c²_набл..

i	n i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10 9 11 14 18 13 11 7 4 3	8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,8 3,81 2,74	0,15 0,03 0,17 0,13 0,20 0,13 0,00 0,01 0,01 0,02

                                           : 100 100          0,85

                                             c ² _набл.  = 0,85

  5.4. Распределение статистики c².

     Случайная величина имеет c² – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид

где c_r – которая положительная постоянная ( c_r  определяется из равенства ).        Случайная величина, имеющая распределение c² с r степенями свободы, будет обозначаться .

      Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение   определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины   в любой промежуток.

      Вернемся теперь к статистике  . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i и теоретические частоты = n × p_i )

   Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики  зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при  распределение статистики  стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

    Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

      Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а и s для нормального распределения.

    Следовательно

R=i-N_пар-1=10-2-1=7