Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.

 

          Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика  принимает только не отрицательные значения (всегда c² ³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при  для каждого i).

         Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики  будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

          Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через  , который разбил бы всю область возможных значений статистики  на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством .

     Область принятия Критическая область

         гипотезы

 

   0                                             

    Как же найти критическое значение  ?

    Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики  в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :

                                               

называется уровнем значимости.

     Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости  (как правило  = 0,05 или  = 0,01) и найдем  как уровень уравнения

                                                

с неизвестной x. Поскольку распределение статистики  близко при  к - распределению с r степенями свободы, то

                                            

и приближенное значение  можно найти из уравнения

                                        

       Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x > 0, при котором площадь под графиком функции  (плотности - распределения) над участком  равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и r,что при необходимости отражают и в обозначениях:  ).

         Зададим уровень значимости как  = 0,05 (условие курсовой работы) .

         Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n ³ 100).

 

2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков

                   

 так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической    

 частотой ) оказалось не менее пяти (т.е.  ³ 5 при каждом i).

 

3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

 

4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности p_i и теоретические частоты = n × p_i попадания значений случайной величины в i-й промежуток.

 

5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через c²_набл..

 

6) Определяют число r степеней свободы.

 

7) Используя заданное значение уровня значимости  и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .

8) Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез:

           если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если  , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

           если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е. , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.

 

5.6. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте.

      Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:

 

Название величины	Обозначение и числовое значение величины
Уровень значимости (задан в условии)	= 0,05
Количество промежутков разбиения	l =10
Число степеней свободы	r=7
Критическое значение (находится по таблице)	=
Наблюдаемое значение критерия	c2набл. = 0,85
ВЫВОД	Гипотеза не принимается для данного 9 варианта, поскольку  : 83,5 << 15,51

Замечания: 1.  Заданное значение уровня значимости  = 0,05 означает, что

                                            ,

т.е. вероятность события { } очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при  = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости  - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

     2. Иногда вместо уровня значимости  задается надежность :

                                               

т.е.  - это вероятность попадания значений статистики  в область принятия гипотезы. Поскольку события

                                            { } и

противоположны, то