ОПИСАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

 

Решение системы нелинейных САУ.

Для интегрирования возьмем систему:

 

x²+y²-4=0

xy – 1=0

 

Тогда при запуске программы на экране появляются следующие сообщения:

Метод Рунге - Кутта 1го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

2 0

 

…

 

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

1.9398 0.5139

Количество шагов =

11

 

График решения системы ДУ:

 

 

Количество итераций равно

3

 

Графики значений системы и ошибок при каждой итерации:

 

 

 

 

out =

0 1.9398 0.5139 0.0100 0.0100

1.0000 1.9398 0.5139 -0.0079 0.0037

2.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

3.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

 

Метод Рунге - Кутта 2го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

2 0

 

…

 

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

1.9319 0.5176

Kоличество шагов =

11

 

График решения системы ДУ:

 

 

Количество итераций равно

2

 

Графики значений системы и ошибок при каждой итерации:

 

out =

0 1.9319 0.5176 0.0100 0.0100

1.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

2.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

 

Метод Рунге - Кутта 4го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

2 0

 

…

 

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

1.9291 0.5190

Kоличество шагов =

11

 

График решения системы ДУ:

 

 

Количество итераций равно

3

 

Графики значений системы и ошибок при каждой итерации:

 

 

 

 

 

 

out =

 

0 1.9291 0.5190 0.0100 0.0100

1.0000 1.9291 0.5190 0.0027 -0.0014

2.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

3.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

 

Проверим теперь влияние задаваемого шага интегрирования на точность получаемого решения: зададим h = 0.5 вместо 0.1. Тогда получим:

Метод Рунге - Кутта 1го порядка

t =

0

h =

0.5000

y =

2 0

…

t =

1

h =

0.5000

y =

1.9683 0.5040

Количество шагов =

2

Количество итераций равно

4

out =

0 1.9683 0.5040 0.0100 0.0100

1.0000 1.9683 0.5040 -0.0359 0.0133

2.0000 1.9323 0.5173 -0.0005 0.0004

3.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

4.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 2го порядка

t =

0

h =

0.5000

y =

2 0

t =

1

h =

0.5000

y =

1.9321 0.5175

Kоличество шагов =

2

Количество итераций равно

2

out =

0 1.9321 0.5175 0.0100 0.0100

1.0000 1.9321 0.5175 -0.0002 0.0002

2.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 4го порядка

t =

0

h =

0.5000

y =

2 0

t =

1

h =

0.5000

y =

1.9183 0.5243

Kоличество шагов =

2

Количество итераций равно

3

out =

0 1.9183 0.5243 0.0100 0.0100

1.0000 1.9183 0.5243 0.0137 -0.0068

2.0000 1.9319 0.5176 -0.0001 0.0001

3.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

 

Видим, что при увеличении h снизилась точность получаемого приближенного решения, уменьшилось количество шагов по методу Рунге – Кутта (их стало не 11, а 3), и, вследствие этого, увеличилось количество итераций по дискретному методу Ньютона.

Проверим влияние задаваемой допустимой ошибки для дискретного метода Ньютона: зададим e_dop = 0.001 вместо e_dop = 0.00001. Получаем:

 

Метод Рунге - Кутта 1го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

2 0

…

 

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

1.9398 0.5139

Количество шагов =

11

Количество итераций равно

2

out =

 

0 1.9398 0.5139 0.0100 0.0100

1.0000 1.9398 0.5139 -0.0079 0.0037

2.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 2го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

2 0

…

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

1.9319 0.5176

Kоличество шагов =

11

Количество итераций равно

1

out =

0 1.9319 0.5176 0.0100 0.0100

1.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 4го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

2 0

…

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

1.9291 0.5190

Kоличество шагов =

11

Количество итераций равно

2

out =

0 1.9291 0.5190 0.0100 0.0100

1.0000 1.9291 0.5190 0.0027 -0.0014

2.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

 

Видим, что при увеличении допустимой ошибки для дискретного метода Ньютона уменьшается число итераций, так как уже при второй, и даже первой, итерации достигается заданная точность решения.

 

Решим эту же систему при другом начальном приближении Х⁰ = (3 0).

 

Метод Рунге - Кутта 1го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

3 0

…

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

3.7401 0.2728

Количество шагов =

11

Количество итераций равно

6

out =

0 3.7401 0.2728 0.0100 0.0100

1.0000 3.7401 0.2728 -1.3520 0.0932

2.0000 2.3880 0.3660 -0.3996 0.0984

3.0000 1.9884 0.4644 -0.0539 0.0484

4.0000 1.9345 0.5128 -0.0026 0.0047

5.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0001

6.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 2го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

3 0

…

 

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

3.7321 0.2680

Kоличество шагов =

11

Количество итераций равно

6

out =

0 3.7321 0.2680 0.0100 0.0100

1.0000 3.7321 0.2680 -1.3467 0.0967

2.0000 2.3854 0.3646 -0.3973 0.0992

3.0000 1.9881 0.4638 -0.0536 0.0490

4.0000 1.9345 0.5128 -0.0026 0.0047

5.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0001

6.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 4го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

3 0

…

 

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

3.7294 0.2664

Kоличество шагов =

11

Количество итераций равно

6

out =

0 3.7294 0.2664 0.0100 0.0100

1.0000 3.7294 0.2664 -1.3449 0.0978

2.0000 2.3845 0.3642 -0.3965 0.0995

3.0000 1.9880 0.4637 -0.0535 0.0492

4.0000 1.9345 0.5128 -0.0026 0.0047

5.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0001

6.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

 

Видим, что количество итераций для дискретного метода Ньютона увеличивается, так как начальное решение (3 0) немного дальше от точного, чем (2 0), и для уточнения приходится совершать больше итераций.