Создание балки из конкретного металла с заданными характеристиками

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента. Опорные реакции

 

Σmв=0, – RA·3a + 1,5qa2 + q·3a·2,5a – 3·qa·a = 0, RA = 2qa;

ΣYi=0, RA – q·3a + RB – 3qa =0, RB = 4qa.

Эпюра Qy.

Поперечная сила постоянна на участке ЕВ и ВС; изменяется по линейному закону на участке DA и AE и принимает следующие значения:

 

QD = 0, QAD = QD – qa = – qa,

QA = QAD + RA = – qa + 2qa = qa, QAE = QA – q·2a = qa – 2qa = – qa,

QEB = QAE = – qa, QB = QEB+ RB = – qa + 4qa = 3qa,

QB = QC = 3qa.

 

Эпюра Мх.

Изгибающий момент изменяется по линейному закону на участке EB и BC, по квадратичному закону на участках DA и AE, принимая экстремальные значения в сечении z = 4а. По значениям момента в характерных точках

 

MD = 0, MA = – qa·0,5a = – 0,5qa2 ,

M (2a) = – 2qa·a + RA·a = – 2qa2 + 2qa2 = 0,

ME = – 3qa·1,5a + RA·2a = – 4,5qa2 + 4qa2 = – 0,5qa2 ,

MEB = ME + 1,5qa2 = – 0,5qa2 + 1,5qa2 = qa2 ,

Mmax = MB = – 3qa·2,5a + RA·3a – 1,5qa2 = – 3 qa2,

MC = 0.

строим эпюру Мх, из которой находим расчетный изгибающий момент

Мрас= 3qa2 = 60,48 кН∙м

 

Определение перемещений

Метод начальных параметров

Из граничных условий имеем: vA = 0, vB = 0. Отсюда находим v0 , θ0:

vA= v(a) = v0 + θ 0∙а + ,

 

vB=v(4a)=v0+ θ0∙4а + ;

 

θ 0 = – ;

v0 = –  = 0; v0 = .

 

А теперь находим искомые перемещения:

- сечение z = а

 

θ (а) = θ0 + ;

 

V(а) = 0;

- сечение z = 2а

 

θ(2а) = θ0 + ;

v(2а) = v0+ θ0∙2a+ ;

- сечение z = 3а

 

θ(3а) = θ0 + = ;

v(3a) = v0 + θ0∙3a + ;

 

- сечение z = 4а

v(4a) = 0;

 

θ(4а)=θ0+ = ;

 

- сечение z = 5а

 

θ(5а)=θ0+ = ;

 

V(5a)=V0+θ0∙5a+ .

Результаты вычислений сведем в таблице и построим упругую линию балки пунктиром

 

Перемещения	Сечение z
	0	a	2a	3a	4a	5a
θ х(qa3/EIx)-1	– 7/9	–11/18	– 4/9	– 5/18	20/9	67/18
v х(qa4/EIx)-1	53/72	0	–35/72	– 8/9	0	29/9

 

Для расчета балки на жесткость необходимо знать максимальный прогиб, который имеет место в сечении, где угол поворота равен нулю. Он имеет место в сечении z = 3а, отсюда vmax= vВ = 8qa4/(9 EIx)

Энергетический метод

Строим эпюры моментов от заданной нагрузки и от единичных воздействий, приложенных к балке в направлении искомых перемещений. Определяем моменты посередине участков.

 

МсрDА = (МС + МА)/2 + qа2/8 = (0 + 1/2) qа2 + qа2/8 = 3/8 qа2,

МсрАM = (МA + МM)/2 + qа2/8 = (0 + 1/2) qа2 + qа2/8 = 3/8 qа2,

МсрME = (МM + МE)/2 + qа2/8 = (0 + 1/2) qа2 + qа2/8 = 3/8 qа2,

МсрEB =(МE + МB)/2 = (1 + 3) qа2/2 =1/2 qа2,

МсрBС =(МB + МC)/2 = (3 + 0) qа2/2 = 3/2qа2.

 

Перемножая соответствующие эпюры, находим искомые перемещения, увеличенные для удобства вычислений в EI раз:

EIxvB= ;

ЕIxθA= ;

 

ЕIxθB= .

 

Расчет на ЭВМ методом конечных элементов

Исходные данные вво- дятся в безразмерной форме:

 

ζ = z /a (0 ≤ ζ ≤ 10), , .

 

 

Из рисунка следует, что наибольший прогиб имеет место в сечении 3a, где возникает наибольший изгибающий момент, и равен

 

.

Подбор сечения неравнобоких уголков по условиям прочности и жесткости

Из условия прочности имеем σmax = Mmax/Wx ≤ [σ].

Отсюда, учитывая что Mmax = – 3 qa2,

 

[σ]= ,

 

σвр= , Fте находим из диаграммы растяжения

 

 

σвр = = 318 МПа,

[n] = 1,5 если > 5%, [n] = 2,4 если < 5%,

= =0,7%,

[σ] = 318/2,4=132,5 МПа, отсюда Wx ≥ Mmax/ [σ]=60,48∙103/132,5∙106 = 456 см3.

Условиям прочности удовлетворяет Wx ≥ 456 см3

Согласно условиям жесткости

 

 ≤ [f],

 

откуда l/[f] = 900, [f] = l/900 =2,5/900 = 2,8 мм

 

Ix ≥ = = 4608 см4;

 

Учитывая условия прочности и жесткости по ГОСТу 8510-86 выбираем неравнобокие уголки №27 с следующими параметрами:

B=250мм, b=160 мм, d=18мм, A=157 см2, Ix=4987см4, Wx=597,6см3.

 

Другие элементы