Формальное описание DEA

Рассмотрим сначала простейший случай, когда фирма производит один вид продукции, используя для этого всего один ресурс. В процессе производства компания решает оптимизационную задачу - максимизирует выпуск при ограничении на ресурсы или минимизирует затраты при заданном объеме производства. Соответствующие оптимизационные задачи называются ориентированными на выпуск или затратно-ориентированными. В дальнейшем для удобства будем рассматривать только затратно-ориентированный подход, поскольку для линейных задач оба подхода эквивалентны. Для группы из предприятий задача линейного программирования запишется в виде:

                                                                                                   (3.1)

где и - соответственно выпуск и затраты i-го предприятия. При таких ограничениях задача эквивалентна

,                                                                                               (3.2)

где коэффициент определяет эффективность каждого предприятия относительно остальных. Ограничения выбраны таким образом, чтобы выполнялось неравенство .

Совершенно очевидно, что при таком определении эффективности неявно предполагается ее независимость от масштаба производства (или постоянная отдача от масштаба). Между тем, неэффективность производства может быть обусловлена в том числе неоптимальным масштабом. Для учета влияния фактора масштаба предлагается рассматривать задачу

                                                                                               (3.3)

При этом в зависимости от ограничений на параметр возможны различные зависимости отдачи от масштаба. Так, при мы возвращаемся к задаче (3.1), то есть к постоянной отдаче от масштаба (CRS).

Рассмотрим случай произвольного . Пусть - решение задачи (3) для i-го предприятия, являющегося эффективным. Рассмотрим предприятие такое, что . Из ограничений задачи (3.3) следует, что оно также будет эффективно, если . С другой стороны, . Отсюда следует, что . Таким образом, если , то при и при , то есть для эффективных предприятий наблюдается неуменьшение отдачи от масштаба (NDRS). Аналогично, если для эффективного предприятия получилось , то увеличение масштаба сопровождается неувеличением отдачи (NIRS). Если на не накладывается никаких ограничений, то отдача от масштаба для эффективных предприятий может быть произвольной (VRS).

В многомерном случае по аналогии также можно ввести коэффициент продуктивности i-го предприятия как нормированное отношение некоторого «обобщенного» выпуска к «обобщенным» затратам. При этом в качестве «обобщенного» выпуска (затрат) можно взять взвешенную сумму по всем выпускам (затратам).

Рассмотрим далее N предприятий, производящих m различных выпусков и затрачивающих n ресурсов. Технология производства описывается парой векторов (выпуск) и (затраты) и отображается точкой (x, y) в неотрицательном ортанте n+m мерного евклидового пространства. Коэффициент эффективности в этом многомерном пространстве затрат-выпуска можно записать в виде:

,                                                                          (3.4)

где и - векторы весов, по которым максимизируется ki. Аналогично (3.1), максимизация коэффициента эффективности (3.4) эквивалентна максимизации обобщенного выпуска с соответствующими ограничениями:

                                                                                         (3.5)

Учет эффекта масштаба, как и в одномерном случае, производится добавлением новой переменной

.                                                                                   (3.6)

C задачей (3.6) связана двойственная, решать которую с технической точки зрения более предпочтительно в силу различий размерности векторов ресурсов и выпуска:

,                                                                                      (3.7)

где - вектор затрат по j-му ресурсу для всех предприятий выборки. Решением задачи (7) как раз является искомый показатель эффективности, называемый общей технической эффективностью (OTE) технологии . Он позволяет оценить общую отдачу от затрат ресурсов, не объясняя причин возникновения неэффективности. В зависимости от ограничений, накладываемых на вектор , получаются различные зависимости отдачи от масштаба (см. табл. 3.1).

Если в результате решения задачи (3.6) для i-го предприятия без ограничений на получилось , то это лишь означает, что его представление в пространстве затрат-выпуска лежит на границе эффективности. Для того, чтобы оно действительно было эффективным, достаточно, чтобы хотя бы один элемент вектора был отличен от 0, то есть . Далее, если на не накладывалось никаких ограничений, то получившаяся неэффективность предприятия может быть следствием неоптимальности масштаба. Решение (3.6) с ограничением дает так называемый коэффициент чистой технической эффективности (PTE), который учитывает наличие (пусть даже и чисто теоретическое) зависимости издержек фирмы от масштаба ее деятельности и таким образом позволяет корректно сравнивать эффективность деятельности компаний разной величины. Иными словами, значение коэффициента иллюстрирует эффективность той или иной компании, если принимается гипотеза о том, что крупные компании затрачивают на выпуск дополнительной единицы продукции больше ресурсов, нежели средние и мелкие (растут издержки на управление, инфраструктуру и т.п.).

Таблица 3.1

Коэффициенты эффективности при различных ограничениях

Тип границы эффективности	Прямая задача ЛП	Двойственная задача ЛП
CRS		-
NIRS
NDRS
VRS	-

Вообще говоря, коэффициент OTE может быть разделен на чистую техническую эффективность и эффективность от масштаба деятельности (SE): . Здесь коэффициент эффективности масштаба SE отражает как раз ту часть общей технической неэффективности, которая объясняется именно зависимостью издержек производства от его масштаба и не может быть преодолена одним лишь снижением затрат ресурсов. Причина такой неэффективности кроется в отклонении от оптимального масштаба производства.

Таким образом, каждой i-й технологии из выборки приписывается 4 числа, являющихся решением задачи ЛП с соответствующими предположениями относительно свойств границы эффективности (см. табл. 3.1). Эти показатели связаны соотношением , причем

, , а .

Если в результате расчета окажется, что

, то неэффективность масштаба вызвана превышением оптимального масштаба, а если , то слишком низким объемом. В том случае, когда , технология эффективна и оптимальна по масштабу.

Для иллюстрации этих понятий рассмотрим двумерный случай m=n=1 (см. рисунок 3.1). Точки P1,…, P6 соответствуют шести предприятиям, которые описываются соответствующими технологиями . Единственным эффективным из них является предприятие P3, характеризующееся максимальной отдачей , а соответствующей границей эффективности является луч [0, M). Все точки, лежащие на этом луче, соответствуют технологиям с максимальной отдачей при постоянной отдаче от масштаба (CRS). Показатель общей технической эффективности для произвольного предприятия равен отношению абсциссы проекции ее технологии на луч к абсциссе самой технологии, например для предприятия P6 -- .

На практике производственная функция может зависеть от масштаба производства. В качестве эмпирической производственной функции, обладающей таким свойством, используется часть линейной оболочки, натянутой на векторы технологий из выборки.

На рис. 3.1 это предприятия P1,…, P5. Коэффициент чистой эффективности получается проектированием технологии на кривую, соединяющую эти точки. Для предприятий P1,…, P5 PTE = 1, а для P6 -- .

Рис. 3.1. Границы эффективности в одномерном случае

На рис. 3.1 технологией, оптимальной по масштабу, является P3: SE3=1, а для других технологий он меньше 1. Так, для P6 -- SE6=xC/xV, а для P5 -- SE5=OTE5.