Карты для долей , основанных на биномиальном распределении

Итак, np-карты следует использовать в тех случаях, когда данные распреде­лены по биномиальному закону и все выборки имеют одинаковые области определения. Если же области распределения меняются от выборки к вы­борке, напрямую сравнивать результаты нельзя. Каждое дискретное значение надо скорректировать, разделив на его область определения. В результате получаются доли рi. Карта атрибутов, построенная для долей рi, называется р-картой.

В основе р-карты лежит значение выборочной доли негодных изделий р₍, которое определяется по формуле

где Yi — подсчет для i-й выборки;

ni — число проверенных изделий в i-й выборке.

Средняя доля негодных изделий р рассчитывается так же, как и раньше, а контрольные пределы для значений рi определяются так:

где нижний контроль­ный предел имеет смысл только если он положителен.

Проблема, связанная с р-картой, заключается в том, что стандартное от­клонение зависит о переменной области определения ni. Поскольку область определения меняется, изменяется и вычисленное значение стандартного отклонения, а контрольные пределы приближаются или, наоборот, удаляют­ся от центральной линии. Это означает, что контрольные пределы нужно рассчитывать всегда, когда меняется область определения ni . Если значения ni  для каждой выборки различны, контрольные пределы приходится постоянно пересчитывать, и это делает использование р-карт чересчур громоздким и неудобным.

Пример №3 (см. приложение.)

Многие рекомендуют вычислять контрольные пределы по средней области определения п, если величины niотклоняются от него не более чем на 20%. В приведенном примере этот подход не работает, поскольку области опреде­ления варьируют от 47 до 104.

Однако, поскольку большинство ni близки либо к 50, либо к 100, можно использовать два набора приближенных контрольных пределов. Один осно­ван на п = 50, а другой — на п = 100. В этом случае точные значения кон­трольных пределов потребуются только для тех точек, которые лежат очень близко к приближенным. Понятие «близко» субъективно. Во всех случаях, когда рассчитанные доли чуть меньше или чуть больше приблизительных контрольных пределов, надо определять их точные значения.

Другой способ, позволяющий избежать вычисления точных значений контрольных пределов для каждого ni , заключается в определении узких и широких пределов. Дело в том, что увеличение области определения ведет к сужению контрольных пределов. Следовательно, если их рассчитывать по наибольшему из ni, вероятность которого достаточно высока при нормальном протекании процесса, то получатся наиболее узкие контрольные пределы из всех возможных. И пока область определения не превышает использованное для вычислений значение ni , все величины долей негодной продукции, ле­жащие внутри узких контрольных пределов, будут заведомо находиться и внутри точных пределов.

Так же рассчитываются и широкие контрольные пределы: при использо­вании наименьших из имеющихся niмы получаем чрезмерно завышенные оценки пределов, и, пока область определения превышает наименьшее из имеющихся значений ni , доли, оказывающиеся вне широких пределов, будут заведомо находиться и вне точных. Очевидно, что такие точки будут служить сигналами выхода процесса из состояния статистической управляемости.

Что же касается точек, лежащих между широкими и узкими пределами, то для них приходится вычислять точные значения контрольных пределов.

Хотя описанные методы и помогают решить проблему переменных кон­трольных пределов, самый лучший подход — избегать неравных областей определения. Когда подсчеты имеют заведомо неравные области определения, редко удается построить для них эффективные контрольные карты. Контроль­ные карты для атрибутов эффективнее всего тогда, когда данные собирают­ся специально для анализа при помощи этих контрольных карт. В таком случае обычно легко удается избежать различия областей определения. По­добный случай приведен в примере 2 (вместо использования 100% данных отбиралось только по 60 образцов дважды за смену).

Хотя для биномиальных величин с неодинаковыми областями определения рекомендована р-карта, для таких данных можно построить и nр-карту. Эта карта используется крайне редко по причинам, показанным на рис. 5, где построена nр-карта для данных о неполных счетах.

Хотя контрольные карты на рис. 4 и 5 говорят об одном и том же, выглядят они совершенно по-разному. Меняющаяся центральная линия на рис. 5 затрудняет интерпретацию этой карты. В этом и состоит главная причина редкого использования карт с неравными областями определений.

Точно так же можно построить р-карту для величин с равными областями определений, как это было сделано для числа отвергнутых деталей в таре (рис. 6). При беглом сравнении этой карты с nр-картой, показанной на рис.3, можно заметить, что они не отличаются друг от друга. Все отличия между ними заключаются в наименовании вертикальной оси. Одну и ту же ось можно разметить в процентах, долях или результатах подсчета. График хода процесса и контрольные пределы при этом не изменятся.

Рис.5  np-Карта для данных о неполных инвойсах

Рис.6 р-Карта для данных о числе отвергнутых деталей

Чем отличаются р-карты и nр-карты от карт индивидуальных значений и скользящих размахов? Контрольные пределы, определяемые любым из этих методов, обычно довольно близки. Различия заключаются в способе их по­лучения. Так, например, р-карты и nр-карты изначально ориентированы на биномиальные величины. По этой причине их преимущество основано на четкой связи среднего и стандартного отклонения биномиального распреде­ления. Это позволяет определять контрольные пределы по всего лишь одной статистике — средней доле негодной продукции. Это делает вычисленные контрольные пределы менее чувствительными к внутривыборочной вариации. В результате р-карты и nр-карты становятся наиболее эффективными для анализа данных, распределенных по биномиальному закону.