К решению номера 4 контрольной работы номер 1 .
. Определение . Если в линейном пространстве существует линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то линейное пространство называется мерным. Число называется размерностью пространства и обозначается . Определение. Если , то система из линейно независимых векторов , заданных в определенном порядке, называется базисом пространства . Теорема. Если , - базис в , то любой вектор можно единственным образом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: , . Определение . Будем говорить, что три вектора в трехмерном пространстве образуют ортонормированный базис, если длина каждого из них равна единице и они попарно ортогональны, Т.е. ,
К решению номера 5 контрольной работы номер 1(вариант 1) Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число , что выполняется равенство: . Число называется собственным значением оператора , отвечающим собственному вектору . Множество собственных значений линейного оператора называется его спектром. Рассмотрим матрицу оператора в некотором базисе:
Тогда соотношение или ( ), эквивалентно следующему:
Это есть однородная система ого порядка, всегда имеющая нулевое решение . По правилу Крамера она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е. (1) Итак, собственные числа являются корнями алгебраического уравнения ого порядка (1), которое называется характеристическими уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом. Заметим, что собственные значения не зависят от выбора базиса, в котором записывается матрица оператора . Пусть - собственное значение, т.е. решение характеристического уравнения (1). Тогда собственный вектор , отвечающий этому собственному значению, будет решением однородной системы (2) Так как множество решений линейной однородной системы является линейным пространством, то для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному значению , достаточно найти базис этого пространства. Пример. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора с матрицей A= Решение. Составим характеристическое уравнение (1): =0 или Собственные значения: ; . Для составим систему (2): ~ = -одномерное линейное пространство собственных векторов с базисом . Для ~ = -одномерное линейное пространство собственных векторов с базисом . Отметим, что векторы в образуют базис не параллельно . Так как , то матрица линейного оператора в том базисе будет диагональной: А=
К решению номера 5.(вариант 2) Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Если квадратичная форма такова, что все при , то она называется квадратичной формой канонического вида. Очевидно, что матрица квадратичной формы является диагональной; будем квадратичную форму канонического вида записывать так: - ранг квадратичной формы; . Теорема. Пусть - произвольная квадратичная форма от переменных. Тогда найдется такое линейное невырожденное преобразование переменных, которое эту форму приведет к каноническому виду. Сформулируем правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотри два возможных случая. 1) Существует хотя бы одно . Пусть, например, . Выделим в квадратичной форме группу членов, содержащих и дополним ее до полного квадрата, тогда получим: Здесь есть квадратичная форма, полученная в результате приведения подобных членов из и членов, появившихся в результате выделения полного квадрата; уже не зависит от . Можно применить линейное преобразование: , Получим: . Если при этом квадратичная форма содержит хотя бы один квадрат, с ней поступают аналогично; в итоге получим сумму квадратов (канонический вид). Каждому выделению полного квадрата будет соответствовать невырожденное линейное преобразование переменных. Произведение всех этих преобразований, приводящим данную квадратичную форму к каноническому виду. 2) Пусть теперь все ; значит хотя бы один из при . Пусть . Тогда нужно сделать преобразование переменных ; ; , в результате которого получим квадратичную форму, содержащую квадрат переменного, т.е. первый случай.
Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду . Решение. Группу подчеркнутых членов можно записать в виде: Подставляя их в данную квадратичную форму и приводя подобные слагаемые, получаем
Теперь рассмотрим группу членов Проведем в ней выкладки, аналогичные выше приведенным, т.е. Таким образом, данную квадратичную форму можно записать в виде: Введем новые переменные: ; ; или ; ; Последние равенства задают линейное преобразование переменных, которое приводит данную квадратичную форму к каноническому виду: . Приведение действительной квадратичной формы к каноническому виду. Будем рассматривать только действительные квадратичные формы. Действительное линейное преобразование неизвестных (2) называется ортогональным, если оно сумму квадратов неизвестных переводит в сумму квадратов . Матрица этого преобразования называется ортогональной. Для приведения действительной квадратичной формы к каноническому виду можно использовать теоремы: 1. Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду. 2. Каково бы ни было ортогональное преобразование неизвестных, приводящее к каноническому виду квадратичную форму с матрицей , коэффициентами этого канонического вида являются характеристические корни матрицы , взятые с их кратностями. Таким образом, чтобы записать канонический вид квадратичной формы с матрицей , к которому она приводится посредством ортогонального преобразования неизвестных, согласно теореме 2 достаточно найти корни многочлена Если , то ее канонический вид с точностью до нумерации неизвестных следующий: Пример. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма посредствам ортогонального преобразования неизвестных, не находя этого преобразования. Решение. ее характеристический многочлен Имеет корни: . Тогда запишем канонический вид квадратичной формы: . Чтобы найти матрицу - матрицу искомого ортогонального преобразования, необходимо относительно решить систему для каждого корня : (5) Получим систему решений, подвергнем ее процессу ортогонализации и нормирования, получим систему координатных строк, которые составляют матрицу , по ней находим . Пример. Для квадратичной формы найти ортогональное преобразование, приводящее ее каноническому виду. Решение. Канонический вид этой формы найден выше; собственные значения имеют вид: . Составляем систему (5): 1) Т.е. получился вектор . 2) Т.е. получился вектор . 3) Т.е. получился вектор . Векторы взаимно ортогональны при любых . Нормируем эти векторы при Следовательно, Тогда Искомое преобразование неизвестных имеет вид:
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (194)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |