Основные цели изучения теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

 

Математические школы и классы с углубленным изучением математики были созданы в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснялась необходимость в подготовке специалистов, умеющих использовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров-конструкторов, физиков, экономистов и других.

В настоящее время в математических школах и класса с углубленным изучением математики обучение ведется по программам разработанным коллективом ученых и преподавателей ВУЗов.

При сравнении программ массовой и математической школы можно отметить, что алгебраический материал, изучаемый в математических классах, включает темы, отсутствующие в программе массовой школы. Среди них теория вероятностей.

Содержание обучения теме "элементы теории вероятностей", выделены в "программе для общеобразовательных учреждений. Математика" [18] обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.

1. продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.

А) построить систему определений основных понятий;

Б) выявить дополнительные свойства введенных понятий;

В) установить связи введенных и ранее изученных понятий.

2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.

3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.

Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:

1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)

2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.

3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности и формул Байеса.

4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий

а) по классическому определению вероятности;

б) по теории сложения и умножения;

в) по формуле полной вероятности;

г) по формуле Байеса.

Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.

Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей.

Развивающие цели:

· формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности;

· в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области;

· самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач;

· применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах;

· развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая);

· учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений.

Воспитательные цели:

· формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе;

· формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций;

· воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.

 

§2. Анализ содержания темы "Элементы теории вероятностей" в школьных учебниках

 

Теория вероятностей не изучается на базовом уровне. Эта тема становится актуальной лишь для учащихся классов с углубленным изучением математики.

С понятием "вероятность" учащиеся впервые встречаются в9классе.

В содержании темы учебника "Алгебра 9" [4] выделяются три взаимосвязанных направления, имеющие особое значение для развития логического и вариационного мышления. Во-первых, это подготовка в области комбинаторики, с целью создания аппарата для решения вероятностных задач и формирования важного вида практически ориентированной математической деятельности; во-вторых, формирование умений связанных со сбором, представлением и анализом данных; и в - третьих, формирование представлений о вероятности случайных событий и умение решать вероятностные задачи.

На данном этапе изучения уточняются способы представления и нахождения информации в таблицах, на диаграммах, в каталогах, рассматриваются задачи на перебор вариантов, формируются начальные представления о частоте и вероятности событий.

Дальнейшее изучение теории вероятностей осуществляется в 11 классе.

В учебнике "Алгебра 11" [5] глава "элементы теории вероятностей" начинается с рассмотрения достоверных, невозможных и случайных событий пока только на интуитивном уровне. Приводятся примеры на каждый вид событий и говорится о том, что случайные события представляют для нас особый интерес, к их изучению привели математиков потребности практики.

Основное понятие, с которым связан весь курс теории вероятностей – это понятие опыта (или испытания). Но ему не дается четкое математическое определение, а вводится на интуитивном уровне.

Материал в теме изложен дедуктивно, если вводимым понятиям даются точные математические определения. Можно построить несколько логических цепочек определений:

1. По количеству благоприятных исходов из возможных, относительно одного события.

Событие

 

достоверное       невозможное     случайное

2. По количеству благоприятных исходов, относительно нескольких событий:

События

 

 

несовместные

противоположные

независимые

 

3. операции над событиями

 

объединение                     разность событий

событий пересечение

событий         следствие

событий

 

Перечисленные понятия вводятся описательно, на каждое из них приводится пример.

В темы сформулированы и доказаны следующие утверждения:

1. Если события А и В несовместны, то Р(АUВ) =P(A) +P(B).

В основе доказательства лежит подсчет всевозможных исходов события А и В и определения объединения событий.

2. Если события А1, А2,... ... Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А1UA2U... . UAn) =P(A1) +P(A2) +... +P(An)

Для доказательства применяется определение несовместных событий и утверждение 1.

3. Для любого события А имеем:

Р(А) =1-Р(А).

Для доказательства исполняются факты: AUA - есть достоверное событие (И) и Р(И) =1. А∩А – невозможное событие (ǿ) и утверждение 1.

4. Для любых двух событий справедливо равенство Р(АUВ) =P(A) +P(B) - Р(А∩В)

Идея доказательства состоит из:

· разложения событий А и В на компоненты;

· нахождение объединения события А и события В;

· нахождение вероятности объединения событий А и В;

· нахождение суммы вероятности события А и события В.

5. пусть вероятностное пространство И представлено в виде объединения попарно несовместных событий Х1,,……, Хn: И=Х1UX2U... . UХn, где Xi∩Xj=ǿ при i≠j. Тогда для любого события А верно равенство: Р(А) =Р(Х1) Р(А/Х1) +…+Р(Хn) P(A/Xn).

Для доказательства находится пересечение события А и вероятностного пространства И. пользуясь законом дистрибутивности операции пересечения событий, теоремой сложения вероятностей и условием, что Xi∩Xj-невозможное событие, получается, что событие А является объединением попарно несовместных событий А∩Х1,…А∩Хn. Находится вероятность Р(А) и применяется формула условной вероятности.

6. Пусть вероятность события А равна Р, и пусть Рmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m раз. Тогда справедлива формула Бернулли Pmn=Cn в степени m* p в степени m * q в степени n-m.

Идея доказательства: подсчет благоприятных серий испытаний, нахождение вероятности каждой из них и использование условия, что любые две различные серии несовместны.

Теория вероятности рассматривается в учебниках Ю.М. Колягина и других "Алгебра и начало анализа 11" для общеобразовательных классов и А.Л. Вершера, А.П. Харпа "Математика 11" для учащихся гуманитарного профиля.

Представленные в учебном пособии задачи считаем возможным квалифицировать следующим образом: (Основа классификации - теоретические сведения основ теории вероятностей).

Вычисление вероятности как относительной частоты (частости) появления события (NN 493-499)

Определение множества исходов испытания (NN 499-508)

вычисление вероятности по классическому определению вероятности:

а) число исходов испытания определяется методом "перебора" (NN 516-521)

б) число исходов испытания определяется с применением формул комбинаторики (NN 522-548)

4. Алгебра событий (NN 533-548)

5. Вычисление вероятности по теоремам сложения вероятностей (NN 549-553)

6. Вычисление условной вероятности (NN 565-579).