П.2. Вероятностное пространство

При введении понятия "вероятностное пространство" ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: "подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой" или "зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит". Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.

Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.

Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.

Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.

В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:

1. {A1,A2,A3,A4,A5,A6}, Аk –выпадение k очков;

2. {В0, В1}, В0-выпадение четного числа очков, В1-выпадение нечетного числа очков;

3. {C1,C2}, С1-выпадение очков меньше или равно 4, С2-выпадение очков больше или равно 5.

Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество {A1,A2}, где Аk выпадение k очков, или множество {В1, С2}, где В1-выпадение нечетного числа очков, С2 - выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!

Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать "единицу измерения". Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.

С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.

Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1\n, где n-число исходов.

Следует пояснить учащимся, что этот подход называется классической схемой теории вероятностей.

Полезно выполнить следующие упражнение:

 

Вероятностное пространство задано следующей таблицей:

Исход	Х1	Х2	Х3	Х4
Вероятность	0,2	0,1	0,5	0,4

 

Во сколько раз исход Х3 вероятнее исхода Х2. какие исходы равно вероятностны?

Это задание предложено с целью формирования у учащихся умений выявлять вероятностное пространство, а так же умений выделять равновероятностные исходы, сравнивая их.

Необходимо пояснить учащимся, что существует несколько подходов к определению вероятности.

1. Классическое определение вероятности.

Урок можно провести в форме лекции-диалога [Гл.1§5] т. к. это определение фиксирует долю благоприятных для данного события исходов среди всех равновозможных, необходимо научить определять число всех равновозможных исходов. После определения вероятности рекомендуется решить несколько задач на непосредственное нахождение вероятностей событий согласно классическому определению, тем саамы выявить алгоритм решения таких задач.

Алгоритм:

1) обозначить событие (Н1)

2) сосчитать число всех исходов (n)

3) сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию m

4) найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов

На отработку алгоритма предлагается решить следующие задачи.

Задача 1. В урне 3красных шара, 2 белых и 4 синих. Какова вероятность того, что с первого раза вынут красный шар?

Задача 2. При броске игральной кости вычислить вероятность следующих событий

"выпало 3 очка"

"выпало 6 очков"

"выпало четное число очков"

"выпало простое число очков"

"число выпавших очков кратно 3".

Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее на удачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Задача 4. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал герб, а на другой цифра?

Для запоминания учащимися формулы Р(Н) =m\n, полезно придать ей наглядную иллюстрацию. (рис.15)

Р(Н) =

 

 

Рис.15.

 

Н - случайное событие, n-число всех равновозможных элементарных событий, m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию Н.

Затем следует перейти к изучению свойств вероятности и совместно с учащимися установить, что:

1) если А некоторое событие, то 0≤Р(А) ≤1;

2) 0(И) =1, где И-достоверное событие;

3) 0(√) =0, где √-невозможное событие.

2. Статистическое определение вероятности.

Главное, чтобы учащиеся поняли, что при статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Ученикам следует пояснить, что существует еще геометрическое определение вероятности и существует аксиоматическое определение вероятности события.

П.3. Теоремы сложения

Прежде чем приступать к формулированию и доказательству этих теорем, необходимо вспомнить определение суммы и произведения событий; совместных и несовместных событий.

Вначале на примере задачи следует дать учащимся представление о формулировке теоремы 1.

Задача 1. экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?

Решение.

Пусть событие А –номер работы кратный10. событие В-номер работы кратный 11, тогда событие А+В состоит в том, что номер работы кратен 10 или 11. Легко видеть это Р(А) =9\90 (1), и Р(В) =8\90 (2), а т. к. число исходов благоприятствующих событию А+В равно 17 и, следовательно Р(А+В) =17\90 (3).

Сравнивая (3) с (1) и (2), видим что вероятность события А+В и сумма вероятностей событий А и В равны между собой, т. е Р(А+В) =Р(А) +Р(В)

Формулировка теоремы достаточно проста, поэтому учащиеся самостоятельно и могут предложить.

Решение задачи может быть использована для выявления способа доказательства сформулированной теоремы. Достаточно обратить внимание на основные моменты решения.

1) подсчет числа всех исходов испытания

2) нахождение числа исходов испытания, благоприятствующих появлению событий А; В;

3) отыскание числа исходов испытания, благоприятствующих появлению события А+В.

Полная аналогия доказательства теоремы с решением задачи позволяет учащимся самостоятельно ее доказать. Можно предложить специальную запись доказательства в виде таблицы, клетки которой заполняются учащимися.

n - число всех исходов испытания.

Р(А+В) =Р(А) +Р(В)

 

События	Число исходов испытания, благоприятствующих появлению события	Вероятность события
А	m	m\n
B	K	k\n
A+B	m+k	m+k\n

 

Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.

После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k – величины площадей нарисованных фигур.

В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать правило, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

 

 

+

 

Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.

Задача 2. в лотерее выпущено 10000билетов и установлено: 10 выигрышей по 200рублей, 100выигрышей по 100рублей, 500-по 25рублей и 1000 выигрышей по 5рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25рублей?

 

Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.

Алгоритм	Конкретное соответствующие задание заданному алгоритму
Ввести обозначение для заданных величин	А-выигрыш не менее 25рублей
	А1-выигрыш равен 25рублям
	А2-выигрыш равен 100рублям
	А3-выигрыш равен 200рублям
Подобрать формулу	Т. к. куплен один билет, то А+А1UA2UA3 Где события А1, А2, А3 попарно несовместимы, поэтому Р(А) =Р(А1UA2UA3) =P(A1) +P(A2) +P(A3) P(A1) =0.05; P(A2) =0.01; P(A3) =0.001 P(A) =0.05+0.01+0.001=0.061
Ответ	0,061

 

С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи:

Задача 3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?

Решая эту задачу по известной схеме учащиеся приходят к выводу, что формула Р(АUB) =P(A) +P(B) не применима, т. к. события в этом испытании совместны.

Для решения сложившийся ситуации учителю рекомендуется предложить учащимся избрать другой путь решения, а именно:

1) обозначить событие с-"выпадение герба не состоялось"

2) найти вероятность этого события Р(С) =i

3) CUC-достоверное событие

4) Р(И) +Р(CUC) =P(C) +P(C) =1-по теореме 1.

5) Р(С) =1-Р(С) =1-1\4=3\4.

Таким образом, учащиеся с помощью учителя устанавливают связь между вероятностями противоположных событий: сумма вероятности двух противоположных событий равна единице.

Доказательство в общем виде учащимся предлагается выполнить самостоятельно, использовать для этого решение задачи.

С целью формирования умения решать задачи с помощью доказанной формулы предлагается решить задачу.

Задача 4. стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность попадания первого выстрела равна 0,4; второго 0,5; третьего 0,7. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание.

Изучение теории о вероятности объединения совместных событий целесообразно провести следующим образом.

Пусть m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующие событию В. Среди m+k событий содержится в таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n-общее число равновозможных элементарных событий, то учащиеся без труда по классическому определению вероятности найдут:

Р(А) =m\n, P(B) =k\n, P(A∩B) =L\n.

Ученикам необходимо пояснить, что запись AUB означает: "произойдет или событие А, или событие В, или и то и другое вместе" и что такому событию благоприятствуют (m+k-L) поэтому P(AUB) =m+k-L\n=m\n+k\n-L\n Подставляя значения получим:

P(AUB) =P(A) +P(B) - P(A∩B)

Школьники должны понять, что эта формула представляет собой обобщение формулы Р(AUB) =P(A) +P(B)

Зафиксировав доказательство теоремы в тетрадь целесообразно дать геометрическую интерпретацию полученной формулы.

Р(AUB) =

 

Где m,k,L,n - величины площадей изображенных фигур.

 

Вернемся к задаче 3 и решим ее, пользуясь теоремой о вероятности объединения совместных событий.

 

Будем продолжать работать по алгоритму.

Алгоритм	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
Ввести обозначения для заданных величин	А-появление герба при подбрасывании монеты;
	В-появление герба при подбрасывании второй монеты. Найти С=AUB
Подобрать формулу	Т. к. АиВ - совместные события, то Р(С) =Р(AUB) =P(A) +P(B) - P(A ∩B) P(A) =1\2,P(B) =1\2,P(A∩B) =1\4 P(C) =1\2+1\2-1\4=3\4
Ответ	3\4

 

Для того, чтобы показать, что доказанная теорема справедлива не только для двух совместных событий можно предложить следующие задание.

Задача 5. А, В, С-совместные события. Доказать Р(АUBUC) =P(A) - P(B) - P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) +P(A∩B∩C)

Это задание способствует формированию умений учащихся доказывать вероятностные формулы.

Предлагаем систему задач, основной функцией которой является иллюстрация и закрепление положений теорий (теория о сумме вероятностей совместных событий).

I. (на применении теоремы о вероятности суммы не совместных событий).

1. в урне 30шаров: 10красных, 5синих, 15белых. найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стрелял по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,25. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую.

3. Консультационный пункт института получает пакеты С контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А 0,7; из города В 0,2. найти вероятность того, сто очередной пакет будет получен из города С.

II. (на применение теоремы о вероятности противоположного события)

1. вероятность того, что день будет дождливый р равна 0,7. найти вероятность того, что день будет ясным.

2. в денежно-вещевой лотереи на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150вещевых и 50денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

3. берется на удачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

III. (на применение теоремы о вероятности суммы событий, которые могут быть совместными)

1. вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) двух орудий.

2. подбрасываются две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

После изучения теорем о вероятности суммы событий учащиеся должны уметь: вычислять вероятность случайного события, используя правила вычисления вероятностей одних событий по известным вероятностям других событий, с ним связанных.

Для этого удобно пользоваться алгоритмом, который ученикам рекомендуется зафиксировать в тетрадь:

1. ввести обозначение для всех количеств. Присвоить имена событиям, участвующим в задании. Те вероятности, которые указаны в задаче явно, сразу выписать (если доля задана в процентах – заданные проценты поделить на 100).

2. те вероятности, которые заданы не в явном виде сосчитать и выписать.

Указание к шагу.

Считать вероятности по следующим правилам.

А) если задано общее число исходов n и число благоприятных событию А исходов m (или их можно сосчитать), то Р(А) =m\n;

Б) если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса - полное пространство событий Ω), то нарисовать ее, а внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятным событию А, вычислить площади фигур А и Ω, сосчитать отношение этих фигур P(А) =S(A) \S(Ω);

В) если по заданным в задаче вероятностям надо сосчитать вероятность еще одного события (С), то надо выписывать формулу связи этого события с теми событиями, вероятность которых известны. (А, В,…). После этого воспользоваться формулами: С=А=>Р(С) =1-Р(А);

С=А+В=>Р(С) =Р(А) +Р(В) - Р(А*В).

Для закрепления этого алгоритма в системе задач, следует предусмотреть задачи, связанные с геометрическим определением вероятности. Примером такой задачи может быть следующая.

Задача 6. в квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате – равновозможное, окажется внутри второго квадрата.

Согласно алгоритму, учащийся должен выполнить рисунок и заполнить таблицу, подобрав к алгоритму конкретное содержание.

А

 

Алгоритм	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
Ввести обозначения для заданных величин	а-длинна стороны квадрата;
	а/2-длина стороны второго квадрата;
	S(Ω) - площадь квадрата;
	S(A) - площадь внутреннего квадрата;
	А-точка попала во внутренний квадрат; S(Ω) =а І, S(A) =aІ\4, найти Р(А) ?
Подобрать формулу	Р(А) =S(A) \ S(Ω) = aІ\4\ aІ=1\4=0.25
Ответ	0,25

 

На контрольно-коррекционном этапе изучения теорем о вероятности суммы независимых событий считаем возможным предложить самостоятельную работу, с целью проверки умения учащихся применять изученные формулы в конкретных ситуациях, атак же для выявления пробелов в знаниях.

Перед самостоятельной работой целесообразно провести устную работу с целью повторения правила сложения вероятностей событий и основных формул.

Обсуждение следует сориентировать:

· на выяснение правила сложения вероятности несовместных событий;

· на определение несовместных событий, с приведением учениками достаточного числа примеров;

· на выяснение обобщенного правила сложения вероятностей;

· на выяснение символической записи правила сложения вероятностей 2,3-несовместных (совместных) событий;

· на выяснение формулы выражающей связь между вероятностями противоположных событий;

Содержание самостоятельной работы может быть следующим:

· на военных учениях летчик получил задание "уничтожить" 3рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй 0,008, в третий 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

подбрасывается игральная кость. Чему равна вероятность того, что на гранях выпадет 4и6 очков.

найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате является равновозможным.

бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одной цифры.

Цель задания 3: выявить способности учащихся решать задачи, в которых события описываются с помощью геометрических фигур.

Цель задания 4: выявление пробелов в знании формулы сложения двух несовместных событий.