ПОРЯДКОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

 

                                                                   Выполнила студентка 5 курса

математического факультета Лоптева О. Н.

_____________________________/подпись/

 

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доц. Варанкина В. И.

_____________________________/подпись/

 

Рецензент:

к.ф.-м.н., доц. Здоровенко М. Ю.

_____________________________/подпись/

 

Допущена к защите в ГАК                                                         

 

Зав. кафедрой_______________________                Крутихина М. В.

                                                                                       «____»______________________________

Декан факультета____________________                Варанкина В. И.

                                                                                       «____»______________________________

 

КИРОВ, 2003

                                      ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

 

Глава 1

Исходные определения

§1. Порядковые определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§2. Топологические определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава 2

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

§1. Вполне упорядоченные множества и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

§2. Конечные цепи и их порядковые типы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§3. Порядковый тип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§4. Свойства ординальных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

§5. Пространство ординальных чисел W( ₁) и его свойства. . . . . . . . . . . .18

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

 

                                           ВВЕДЕНИЕ

 

Идеи топологии были высказаны ещё выдающимися математиками 19 века: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом и Бауэром. Однако общая топология, как её понимают сейчас, ведёт начало от Хаусдорфа («Теория множеств», 1914).

Истоки теории упорядоченных и частично упорядоченных алгебраических систем лежат в геометрии, функциональном анализе и алгебре.

Линейно упорядоченные пространства, в том числе и линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, объединяют в себе две структуры: порядковую и топологическую. Систематического изложения теории пространства ординальных чисел не существует. Этим объясняется актуальность выбранной темы.

Целью дипломной работы является исследование пространства ординальных чисел, его порядковых и топологических свойств. В первой главе будут даны основные понятия теории множеств и общей топологии, а во второй главе будет введено понятие порядкового типа, установлены свойства порядковых чисел, а также проведено исследование пространства ординальных чисел, имеющее важное значение для данной работы. Будет доказана хаусдорфовость, нормальность, локальная компактность, счётная компактность, неметризуемость и некоторые другие свойства линейно упорядоченного пространства ординальных чисел.

      

 

 

                 

ГЛАВА 1. Исходные определения и теоремы .

 

ПОРЯДКОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Определение 1.1. Упорядоченным множеством называется непустое множество Х вместе с заданным на нём бинарным отношением порядка , которое:

рефлексивно: а a ;

транзитивно: a b c a c ;

антисимметрично: a b a a = b ( для любых a , b , c X ).

Элементы упорядоченного множества называются сравнимыми, если

а < b , a = b или b < a .

Замечание: по определению будем считать, что a < b , если a b и a  b .

Определение 1.2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые его два элемента сравнимы.

Определение 1.3. Элемент а упорядоченного множества Х называется наименьшим (наибольшим)  элементом  множества А Х, если а А и а  х

 (х  а) для любого х А.

Определение 1.4. Элемент а упорядоченного множества Х называется минимальным (максимальным) элементом множества А Х, если в А нет элементов, меньших (больших) а, то есть если х  а (а  х) для некоторого х , то х = а.

Определение 1.5. Пусть А – непустое подмножество линейно упорядоченного множества Х. Элемент а из Х называется верхней (нижней) гранью множества А, если он больше (меньше) любого элемента из А.

Определение 1.6. Если множество А имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, то А называется ограниченным сверху (ограниченным снизу).

Определение 1.7. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение 1.8. Точной верхней гранью множества А называется наименьший элемент множества всех верхних граней множества А. Обозначается sup A.

Определение 1.9. Точной нижней гранью множества А называется наибольший элемент множества всех нижних граней множества А. Обозначается inf A. 

Определение 1.10. Пусть < X, > - линейно упорядоченное множество, содержащее,  по  крайней  мере,  два  элемента. Для а, b X, a < b положим

(a, b) = {x X: a < x < b}. Такие множества будем называть интервалами в Х. Множество [a, b] = { x X : a x b} называется отрезком в Х.

Определение 1.11. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Определение 1.12. Пусть М и М₁ – упорядоченные множества и пусть f – взаимно однозначное отображение М на М₁. Отображение сохраняет порядок, если из того, что a b ( a , b M ), следует, что f ( a ) f ( b ) (в М₁). Отображение f называется изоморфизмом упорядоченных множеств М и М₁, если соотношение f ( a ) f ( b ) выполнено в том и только в том случае, если a b. При этом множества М и М₁ называются изоморфными между собой.

§2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

 

Определение 1.13. Топологическим пространством называется пара (Х, ), состоящая из множества Х и некоторого семейства  подмножеств множества Х, удовлетворяющая следующим условиям:

1) множество Х и Æ принадлежат  ;

2) пересечение конечного числа множеств из  принадлежат ;

3) объединение любого числа множеств из  принадлежит .

Условия 1 – 3 называются аксиомами топологического пространства, его элементы – точками пространства. Подмножества множества Х, принадлежащие семейству , называются открытыми в Х. Семейство  открытых подмножеств пространства Х называется также топологией на Х.

Определение 1.14. Замкнутым множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.

Определение 1.15. Окрестностью точки х топологического пространства называется любое открытое множество U, содержащее х.

Определение 1.16. Топологическое пространство Х называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 1.17. Топологическое пространство Х называется компактным, если любая его центрированная система замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.

Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).

Определение 1.18. Пространство Х называется локально компактным, если каждая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.

Определение 1.19. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если из каждого счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 1.20. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.

Определения 1.19 и 1.20 равносильны ([5]).

Определение 1.21. Пространство  называется компактификацией топологического пространства Х, если:

    1)  компактно;

    2) Х – подпространство ;

     3) Х плотно в .

Определение 1.22. Топологическое пространство Х называется Т₁-пространством, если для каждой пары различных точек х₁, х₂  существует открытое множество , такое, что х₁  и х₂ .

Определение 1.23. Если любые две различные точки х и у топологического пространства Х имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым пространством или Т₂-пространством.

Определение 1.24. Топологическое пространство Х называется регулярным пространством, или Т₃-пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого  и каждого замкнутого множества , такого, что , существуют открытые множества U ₁ и U ₂, такие, что ₁, ₂ и U ₁ U ₂ = Æ.

Определение 1.25. Топологическое пространство Х называется тихоновским пространством, или Т₃ -пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого  и любого замкнутого множества , такого, что , существует непрерывная функция f: , такая, что f(x)=0 и f(y)=1 для .

Определение 1.26. Топологическое пространство Х называется нормальным, или Т₄-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А U , B V.