Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть ,  – нормированные пространства,  – линейный оператор, D_A- область определения оператора, а R_A – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор  имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0  m*||x||, отсюда ||x||  0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A^-1y, норма ||A^-1y||=||x||, но ||x|| ||Ax||= ||y||.

Отсюда ||A^-1y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A^-1||= .

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А^-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A^-1y||  М||y||.

Подставляем значение y и значение A^-1y,получим ||x||  M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| ||x||.

Положим =m, получим ||Ax||  m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еⁿ. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектромоператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)^-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)^-1 при этом не существует;

2) существует ограниченный оператор (А – λI)^-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3) оператор (А – λI)^-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)^-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)^-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)^-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор , где  – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается  (или ).

Теорема 5. Пусть  – линейный непрерывный оператор,  его регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на : ( = = . С другой стороны получим . Так как числа  – регулярные для оператора А, то оператор  имеет обратный. Значит, из равенства  следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C_[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx= x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если  лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx= x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра  являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R (y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть ₀  [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке ₀, y( ₀) = a  0. Для такой функции равенство (t - ₀)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = ₀ левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при  = ₀ уравнение Аx= x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность ₀ спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0,  [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е  Е, задается матрицей А= .

Аx =  = .

Введем обозначения:

 = y₁

 = y₂

x₁, x₂, y₁, y₂  E;

A - *I = , найдем определитель A - *I:

D(A - *I) =  = (2- )*(-2- ) – 3 = ² – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если  не есть корень уравнения ² – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра  регулярные.

Корни уравнения ² – 7 = 0 образуют спектр:

₁ = ; ₂ = - ;

₁, ₂ – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при  =  получаем:

откуда x₁ = (2+ )x₂; 1-й собственный вектор: ((2+ )x, x);

при  = - получаем:

откуда x₁ = (2 - )x₂ ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);