Литературы по теме исследования.

Проанализируем основные научные источники по теории вероятностей и математической статистике и выявим, как отражены в них вопросы, отведенные для изучения в школьном курсе.

Число различных определений математической вероятности, предложенное теми или иными авторами научной литературы, очень велико. С другой стороны, каждое из них можно отнести к одной из 4 групп определений математической вероятности:

· определения, сводящие понятие вероятности к понятию «равновозможности» как к более примитивному понятию, - классическое определение вероятности.

· геометрическое определение вероятности.

· определения, основанные на частоте появления события в длинной серии экспериментов, - статистическое определение вероятности.

· аксиоматическое определение вероятности.

В научной литературе последовательность введения понятия вероятности различна.

 Гмурман В.Е. в книге «Теория вероятностей и математическая статистика» рассматривает сначала классическое понятие вероятности, затем указывает его недостатки и вводит статистическое понятие вероятности и геометрическую вероятность. Далее он излагает теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия. Материал, посвященный статистике, содержит все понятия, касающиеся статистического распределения выборки, также рассматриваются понятия полигона и гистограммы частот.

Гнеденко Б.В. в книге «Курс теории вероятностей» тоже начинает введение в теорию вероятностей с классического определения. Позже, указывая его ограниченность, он вводит вначале геометрическое, а затем и статистическое определение вероятности. В более позднем издании в соавторстве с Хинчиным А.Я. в книге «Элементарное введение в теорию вероятностей» он использует только статистическое понятие вероятности.

Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. в книге «Введение в теорию вероятностей» на простых примерах вводят основные понятия теории вероятностей. Первым рассматривается классическое определение вероятности, вторым – статистическое.

Пугачев В.С. в книге с тем же названием за основное определение берет статистическое определение вероятности и использует только его.

В. Феллер в книге «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» определяет вероятность через сумму вероятностей элементарных событий и дает статистическое понятие вероятности.

Вентцель Е.С. в книге «Теория вероятностей»  вначале вводит классическое определение вероятности. Далее, указывая недостаток такого толкования вероятности, вводится понятие частоты случайного события и на его основе дается статистическое определение вероятности. Также книга содержит сведения из области статистики. В частности, рассмотрены такие понятия, как статистическая совокупность, статистический (интервальный ряд), гистограмма.

Нетрудно заметить, что большинство авторов научной литературы, начинает излагать теорию вероятностей с классического определения вероятности. Я считаю, что это наиболее удобный путь введения понятия вероятности в высшей школе, так как он соответствует истории развития этого понятия и наиболее прост.

Завершая анализ научной литературы, хотелось бы отметить, что учебников для высшей школы, содержащих интересующий нас материал, существует достаточно много, но они не пригодны для среднего школьника, в силу сложности изложения темы. Поэтому главная проблема, стоящая перед учителями и авторами будущих учебников, состоит в том, что следует отобрать и сделать понятным для ученика обширный материал по теории вероятностей, которая преподается в вузе.

Обратимся теперь к методическим источникам.

Поскольку вероятностно-статистическая линия была введена в школьный курс математики не так давно, то в настоящее время существуют проблемы не только с реализацией этого материала в школьных учебниках, но и с готовностью самих учителей математики преподавать этот материал. Об этом и говорит в статье «О подготовке учителей к обучению школьников стохастике» Селютин В. Д. Автор считает, что школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей, поэтому учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся. Главным при изучении этой темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому начинать обучение желательно с тех задач, в которых статистические сведения заданы изначально и требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.

Пример. Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности (ц\га) картофеля в двух селах таковы:

Село А: 180, 50, 60, 100, 170, 60, 150, 90, 120, 70, 60, 160, 90, 170, 90, 180, 160.

Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.

Какому из мест он отдаст предпочтение?

В условиях этой задачи критерием принятия решения должен служить разброс значений урожайности. В селе А разброс больше, чем в селе Б. В селе А размах – разность между самым наибольшим и самым наименьшим значениями урожайности равен 180-50=30, в селе Б эта разность равна 30. Средняя урожайность картофеля в первом селе немного выше, чем во втором. Но несмотря на это, в селе А климатические условия таковы, что высокоурожайные для картофеля годы сменяются низкоурожайными. Видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей её стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, ещё не имеющего опыта ведения приусадебного хозяйства.

Владение искусством стохастических рассуждений – непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов, утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа не должен вызывать растерянности учителя. Особенность стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретации результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации.

Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковывать статистическую информацию. В конкретных ситуациях ему предстоит показать, что определенно подобранные статистические показатели могут служить основой для получения ложных выводов о происходящих событиях в политической и экономической жизни общества. Развитие у будущих взрослых граждан критического мышления, умений понимать скрытый смысл того или иного сообщения является важнейшей задачей учителя при изучении стохастики.

Приступая к обучению школьников стохастике, учитель должен ясно представлять себе, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастике в ряду других тем, знание итоговых требований с стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Еще одна статья этого автора «О формировании первоначальных стохастических представлений»  посвящена проблемам развития вероятностно-статистического мышления на первых этапах обучения. Селютин В. Д. рассматривает трудности изучения и восприятия учащимися этого материала и ставит вопрос о том, как, с помощью каких средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений у школьников. Автор предлагает стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование и рассматривает примеры их использования.

Пример. Учащиеся проводят в классе исследование на тему «Самый популярный певец». Для чего каждый ученик класса записывает на листочке бумаги фамилию эстрадного певца (певицы), который больше ему нравится, а кто-либо один собирает все эти листочки. Листочки раскладываются по группам, и подсчитывается их количество в каждой группе. Полученные сведения оформляются в виде таблицы. А по ней естественно задать учащимся вопрос: «Можно ли судить по таблице, кто самый популярный певец?» Возможно, учащиеся ответят, что в разных странах свои популярные певцы. Тогда возникает другой вопрос: «Можно ли по этой таблице судить, кто самый популярный певец в нашей стране?» Выясняется, что и об этом по данной выборке бесспорного ответа дать нельзя. Таким образом, в сознание учащихся внедряется идея о том, что вывод, сделанный на основе опыта, должен соответствовать выборке.

В статье Бунимовича Е. А. «Вероятностно-статистическая линия в базовом курсе математики» обоснована необходимость внедрения этой линии в школьный курс математики, ее значимость и важность для современного образования. Автор пишет о результатах проведенной экспериментальной работы по изучению вероятностных представлений школьников, на основании которых можно сделать вывод о том, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления и не избавляет даже от тривиальных вероятностных заблуждений и предрассудков. Поэтому нужен особый подход при изучении этой темы, который, в первую очередь, будет направлен на формирование жизненно необходимых представлений о вероятности и статистике.

Федосеев В. Н. в статье «Элементы теории вероятностей для 7-8 классов средней школы» излагает фрагменты курса «Элементы теории вероятностей», в котором рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В начале курса вводятся следующие понятия: испытание, единичное испытание, исходы испытаний, случайные исходы испытаний, множество исходов испытания. Примеры и задачи, используемые в курсе, касаются испытаний с небольшим числом случайных исходов. Множества исходов таких испытаний можно определить простым перебором или построить с помощью таблиц и деревьев исходов. Автор статьи соглашается с мнением известного американского математика В. Феллера о том, что изучение дискретных пространств элементарных событий позволяет без использования сложного математического аппарата ввести ученика в круг основных идей теории вероятностей и её приложений, и на этой основе пытается построить изучение курса.

Гольдфаин И. И. в статье «Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии » пишет о противоречии между задачами школьного курса теории вероятностей, решать которые научить школьников нетрудно, и вероятностными представлениями, сформировать которые у тех же школьников весьма непросто. Это противоречие обусловлено в значительной степени тем,, что изучение основ теории вероятностей начинают, как правило, с ее простейшего классического варианта, основанного на понятии равновозможных исходов. В этом и заключается принципиальный недостаток классической вероятности – определение нового понятия «вероятность» через неопределенное понятие «равновозможный исход опыта». Если ученик уже приобрел соответствующие интуитивные представления, то такое определение вполне приемлемо. Но если нужных интуитивных представлений нет, то такое определение вероятности повисает в воздухе. По существу, именно с этим связано предложение начинать изучение теории вероятностей со значительно более сложного статистического определения. Поэтому, автор считает, что учителю математики следует обратить пристальное внимание на современную школьную программу по биологии, которая содержит элементы генетики. А некоторые механизмы передачи наследственной информации, которые изучает эта наука, полностью укладываются в схему классической вероятности. Поэтому изучение биологии будет способствовать развитию и укреплению вероятностных представлений у учащихся, более глубокому и осознанному восприятию этого довольно непростого материала.

В статье Булычева В. А. «Вероятность вокруг нас и в школьном учебнике математики» рассмотрены задачи последнего раздела «Вероятность вокруг нас» учебника «Математика – 6» под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. Главная особенность этих задач – их проблемность. Это не задачи-упражнения, а задачи-проблемы. Именно поэтому многие их них имеют не совсем «математические» формулировки, оставляя ученику возможность самостоятельно сделать постановку, точно описать условие и сформулировать вопрос.

Таким образом, авторы всей вышеперечисленной методической литературы признают сложность и новизну этого материала и сходятся во мнении, что процесс обучения стохастике должен быть организован таким образом, чтобы изучаемые явления и закономерности не просто усваивались и запоминались учащимися, но и способствовали формированию правильных стохастических представлений, пониманию тесных взаимосвязей между вероятностно-статистической линией и деятельностью любого человека, развитию умений применять полученные знания в повседневной жизни .