Анализ учебников и учебных пособий.

Согласно требованиям государственного стандарта по математике содержание материала, обязательного изучаемого по данной теме в курсе основной школы, должно включать:

· Понятие и примеры случайных событий;

· Понятия частоты события и вероятности;

· Равновозможные события и подсчет их вероятности;

· Представление о геометрической вероятности;

· Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков;

· Средние результаты измерений;

· Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Согласно требованиям стандарта по математике после изучения данной темы учащиеся должны уметь:

· Находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

· Находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

· Вычислять средние значения результатов измерений;

и использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

· Сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;

· Понимания статистических рассуждений;

· Анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц.

Попытаемся проанализировать ныне действующие учебники и учебные пособия с позиции требований государственного стандарта по математике по данной теме.

Попытка построения полноправной вероятностно-статистической линии предпринята в рамках учебных комплектов: "Математика 5", "Математика 6" под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, а также "Математика 7", "Математика 8" и "Математика 9" под редакцией Г.В. Дорофеева.

В учебнике для 5 класса представлены начальные сведения из области статистики, в частности, представление данных в виде таблиц и диаграмм. Материал выделен в отдельную главу, которая так и называется – "Таблицы и диаграммы". В этой главе авторы учат школьников извлекать и анализировать информацию, представленную на диаграмме или в виде таблицы. Задачный материал, представленный в учебнике, особым разнообразием не отличается. В основном, школьники учатся работать с готовыми таблицами и диаграммами, сравнительно немного заданий на самостоятельное составление таблиц и диаграмм по представленной информации. Также немного заданий, подчеркивающих удобство использования таблиц и диаграмм для представления разнообразной информации, что является, на мой взгляд, существенным недостатком, поскольку таблицы и диаграммы значительно структурируют информацию, помещаемую в них, делают ее более наглядной, а на это в учебнике не сделан соответствующий упор.

В 6 классе авторы снова возвращаются к этому материалу, где знакомят учащихся с уже более сложными таблицами, а также указывают на различия в применении столбчатых и круговых диаграмм. Задания более сложные по сравнению с 5 классом, но их недостаточно. Авторы вновь делают упор на работу школьников с готовыми таблицами и диаграммами, забывая о необходимости научить детей самостоятельному составлению таблиц и диаграмм.

 Также в конце 6 класса школьникам предлагается начать изучение основ теории вероятностей. Этому посвящена отдельная 8 глава «Вероятность случайных событий». Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. В параграфе «Частота и вероятность случайного события» учащиеся знакомятся с понятиями частоты события как отношения числа наступления события к числу экспериментов, на конкретном примере показано, что же такое вероятность случайного события, прослежена её связь с частотой, введено обозначение вероятности, но пока авторы не дают строгого определения вероятности с использованием частоты события, а говорят лишь об "оценке вероятности случайного события по его частоте" на конкретном примере. Вероятности достоверных и невозможных событий авторы вводят как определения, со словами “естественно считать” без использования понятия частоты. Становиться непонятным, для чего вообще нужна частота: я считаю, дети вполне способны самостоятельно прийти к выводам о вероятности этих событий, опираясь на предыдущий материал и их определения. Аналогичным образом авторы подводят учащихся к классическому определению вероятности, показывая способ подсчета вероятности равновозможных событий на конкретном примере. Изложение материала в учебнике, в целом, логично и последовательно, но, несмотря на это, можно сделать несколько существенных замечаний.

 Во-первых, в начале главы, говоря о случайных событиях, авторы не вводят обозначения для события, принятое в математике, однако в заданиях оно уже присутствует. Целесообразно, сразу после определения случайного события ввести и обозначение для него, как это всегда принято в математике при введении нового понятия.

Во-вторых, понятие равновозможных событий автор характеризует так: "Вы бросаете монету. Может выпасть "орел", а может – "решка". Возможности наступления этих событий одинаковы. Такие события называются равновозможными или равновероятными". Такое объяснение не только нельзя считать определением, но и оно вряд ли будет понятно школьникам. Равновозможность или равновероятность наступления этих событий целесообразнее попытаться объяснить следующим образом: "Вы бросаете монету. Может выпасть "орел", а может – "решка", но с математической точки зрения обе стороны монеты одинаковы, и ни одна из них не лучше и не хуже другой оставшейся, поэтому мы можем утверждать, что возможности наступления этих событий – выпадение "орла" или выпадение "решки" одинаковы, а значит события "выпадет "орел" и "выпадет "решка" равновозможны или равновероятны.

В-третьих, система задач, предлагаемых автором для закрепления и усвоения знаний, не всегда полна, поэтому учителю просто необходимо использовать дополнительную литературу для подготовки к уроку.

Учебник для 7 класса призван углублять, конкретизировать и уточнять знания по основам теории вероятностей, полученные учениками в 6 классе: дается строгое определение относительной частоты случайного события, вводится статистическое определение вероятности. Большинство заданий практической части направлены на формирование правильного понимания частоты случайного события и умений находить вероятность события по его частоте. Очень мало заданий, в которых требуется провести статистическое оценивание и прогноз, что является существенным недостатком, поскольку именно такие задания помогают развитию у школьников статистического мышления и интуиции.

 В 8 классе предполагается изучение статистических характеристик ряда: моды, медианы, размаха и среднего арифметического. Задачи, предлагаемые авторами для решения, немногочисленны и не обладают практической направленностью. В большинстве своем, это задачи на нахождение статистических характеристик для имеющихся данных и на построение ряда по готовым статистическим характеристикам. Несомненно, такие задания нужны для отработки определений статистических характеристик и для их качественного и полноценного усвоения, но главный недостаток таких задач – их абсолютная бесполезность с практической точки зрения. Решая такие задачи, школьник просто оперирует с набором новых для него понятий, усваивая их и запоминая, не вдумываясь в то, что в каждом конкретном примере эти статистические характеристики несут в себе огромный практический смысл, опираясь на который, можно спрогнозировать, оценить и сделать важные выводы, полезные в этой ситуации. Поэтому задачи такого типа не должны занимать главенствующего места в учебнике.

В этом же классе изучение вероятностно-статистической линии продолжается рассмотрением классического определения вероятности и геометрической вероятности.

В учебнике для 9 класса интересующий нас материал изложен в главе «Статистические исследования». Глава «Статистические исследования» является завершающим фрагментом вероятностно-статистической линии курса. Здесь осуществляется переход от описательной статистики, которой учащиеся занимались с 5 по 8 класс, к начальному знакомству с математической статистикой. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках, а также вводятся некоторые новые понятия, отражающие специфику данного исследования.

Для того чтобы сформировать у учащихся представление о статистическом исследовании, в учебнике рассмотрено 3 примера, близкие жизненному опыту школьников, соответствующие названиям параграфов в главе. Первый из них - исследование качества математической подготовки школьников.

В тексте отражены основные этапы этого исследования: обсуждается проблема построения репрезентативной выборки, демонстрируются приемы сбора данных и их наглядного представления, проводится анализ полученных результатов. По сути в учебнике представлен алгоритм, который используют статистики при проведении подобных исследований. Основная цель состоит в том, чтобы, опираясь на представленный образец, учащиеся при решении задач смогли воспроизвести его полностью или частично. При описании исследования используются уже известные учащимся вероятностно-статистические понятия, а также вводятся некоторые новые. Новые понятия возникают естественным путем, когда этого требует логика изложения. Это касается таких понятий, как генеральная совокупность, выборочное обследование, репрезентативная выборка, ранжирование ряда данных, полигон частот, интервальный ряд и гистограмма. Но авторы в тексте учебника не обращают внимание школьников на неоднозначность при построении интервального ряда, из-за которой при решении одной задачи могут получаться разные гистограммы, а также различные средние арифметические, что является, на мой взгляд, существенным недостатком.

Анализируя весь учебный комплект в целом, необходимо отметить соответствие содержания учебников требованиям государственного стандарта по математике. Но с методической точки зрения важно отметить некоторые недостатки данного учебного комплекта.

Во-первых, авторы рассматривают в учебниках, как того требует стандарт, все 3 определения вероятности: статистическое, классическое и геометрическое, но все определения разнесены по времени, то есть изучаются в разных классах и между ними не прослеживается никакая взаимосвязь. Не указаны недостатки и достоинства того или иного определения, области их применений, особенности каждого из определений вероятности. Изучение стохастической линии завершается статистическим материалом, но отсутствует подведение итогов изучения этой линии в основной школе, в конце обучения авторы словно забывают о вероятности вовсе. Следствием всего этого может быть неверное представление учащихся о вероятности случайного события: в каждом конкретном случае учащимся будет затруднительно выяснить, какое из понятий вероятности здесь применять и почему.

Во-вторых, задачный материал, предлагаемый в учебниках, как уже отмечалось выше, неполон и недостаточен. Задания, в основном, однотипные и для качественного усвоения учебного материала учителю просто необходимо использовать дополнительную литературу. Среди задач, представленных в учебниках, сравнительно немного задач, ценных с практической стороны, действительно служащих для формирования вероятностно-статистического мышления у учеников, иллюстрирующих тесную взаимосвязь изучаемого материала с действительностью.

Рассмотрим еще несколько учебных пособий, призванных восполнить отсутствие вероятностно – статистической линии в основном учебнике:

Мордкович А. Г., Семенов П. В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.

Характеризуя данное учебное пособие, следует отметить, что дополнительные параграфы ориентированы на курс алгебры 7 – 9 классов А. Г. Мордковича. Они предназначены для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистики. Из основ теории вероятностей учебное пособие содержит только классическую вероятностную схему, не рассмотрены 2 оставшихся подхода к понятию вероятности: статистический и геометрический. Статистический материал собран в один параграф и рассмотрен поверхностно, авторы не обращают внимания школьников на практическую значимость многих статистических понятий и характеристик. Упражнения, представленные после каждого параграфа, в основном, направлены на усвоение новых понятий и алгоритмов, нет задач исследовательского характера, задач-проблем. Создается впечатление, что, это пособие написано наспех, так как содержит недостаточно сведений и задач для полноценного изучения школьниками вероятностно-статистической линии, соответствует далеко не всем требованиям стандарта и вряд ли может быть использовано учителем при проведении уроков как самостоятельная единица.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений.

Данное учебное пособие содержит две главы посвященные теории вероятностей и математической статистике. В первой главе авторы рассматривают последовательно одно за другим все 3 определения вероятности случайного события: классическое, геометрическое и статистическое. Такая последовательность изложения ничем не обоснована, и, на мой взгляд, неверна, поскольку может послужить поводом для ошибок учащихся при решении задач. Между этими определениями не установлена взаимосвязь, не указаны их достоинства и недостатки, возможности использования определений в каждом конкретном случае, что тоже может привести к неверному представлению учащихся о вероятности. Статистический материал представлен неполностью, зато пособие содержит излишние факты и понятия: дискретные и случайные непрерывные величины, отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, правило трех сигм не должны изучаться в основной школе ввиду их сложности. Как и в предыдущем случае, это пособие вряд ли претендует на право полноценно знакомства школьников с вероятностно-статистической линией с его помощью.