Основные принципы построения методики изучения

Стохастической линии в курсе математики основной школы.

 

Исходя из анализа всей вышеперечисленной литературы, при построении методики изучения стохастической линии в основной школе необходимо учитывать следующие важные моменты:

· Содержание материала, обязательно изучаемого в рамках данной линии в средней школе, определяется требованиями государственного стандарта по математике.

· Изучение стохастической линии целесообразно начать со статистического материала и излагать весь последующий материал индуктивно.

· С учащимися необходимо рассмотреть различные понятия вероятности: классическое, статистическое и геометрическое. В противном случае происходит неполное представление о нем.

· Последовательность изучения понятия вероятности должна быть такова: вначале необходимо ввести и сформировать представление о статистической вероятности, затем, отмечая неудобство использования такого определения и его явную неточность, перейти к изучению классической вероятности и в завершении рассмотреть геометрическую вероятность как один из способов решения проблемы конечности числа исходов в классической вероятностной схеме. Такая последовательность изучения не соответствует историческому развитию науки, но помогает избежать типичных ошибок и неверных представлений о вероятности, способствует развитию вероятностного мышления и интуиции.

· При введении каждого из определений вероятности необходимо обращать внимание учащихся на его недостатки и области возможного применения.

· Поскольку основным средством обучения математике являются задачи, то при изучении вероятностно-статистической линии необходимо рассматривать с учащимися разнообразные задачи и примеры, особо выделяя среди них задачи практического характера, устанавливающие взаимосвязь изучаемых фактов и явлений с жизнью, опытом учащихся.

· Для полноценного и качественного усвоения данного материала необходимо максимально учитывать принципы дидактики. Поэтому необходимо:

1. Максимально использовать средства наглядности, опытную работу с учащимися.

2. Сопроводить изучение иллюстративными задачами и примерами.

3. Рекомендовать учащимся дополнительную литературу по данной теме, доступную для их понимания.

4. Предусмотреть задачи для самостоятельной работы учащихся.

5. Учитывать индивидуальные особенности школьника при решении различных задач и примеров.

6. Добиваться прочности знаний с помощью решения задач, опирающихся на ранее изученный материал.

Глава 2.

 

В этой главе предпринята попытка построения методики изучения стохастической линии в основной школе.

Представим методику изучения по классам.

Класс.

В 5 классе целесообразно начать изучение вероятностно-статистической линии с рассмотрения таблиц и диаграмм. Причем необходимо обратить внимание учащихся на то, что таблицы и диаграммы это не какие-либо геометрические объекты или фигуры, а один из способов представления информации в удобной и наглядной форме. Для решения этого вопроса можно в начале самого первого урока, посвященного данной теме, в качестве небольшой игры разделить класс на 2 команды и предложить этим командам решить одну и ту же задачу, предлагаемую на карточке, победившей будет считаться команда быстрее справившаяся с заданием. Суть игры в том, что для одной команды задача представлена в текстовом виде, а для другой – в виде таблицы.

Задача 1. Оля провела опрос среди одноклассников и выяснила, сколько времени в день каждый из них проводит перед телевизором. Оказалось, что пятеро из ее одноклассников вообще не смотрят телевизор, 4 человека смотрят телевизор около четверти часа в день, 3 человека находятся у телевизора не более получаса, семь человек смотрят телевизор около одного часа в день, остальные же 12 человек проводят у телевизора по два часа в день и более. Используя данные сведения, ответьте на следующие вопросы:

a) Сколько учеников в классе Оли?

b) Сколько Олиных одноклассников проводят у телевизора около 1 часа в день?

c) Сколько учеников из класса Оли смотрят телевизор по часу в день и меньше?

d) Какое наибольшее количество часов проводят у телевизоров Олины одноклассники?

 Для второй команды задача может быть сформулирована так: Оля провела опрос среди одноклассников с целью выяснить, сколько времени в день они проводят у телевизора. Полученные результаты она представила в виде таблицы:

 

Количество часов,0 проводимых у телевизора.	Число учеников.
0	5
	4
	5
1	7
2 и более	12

 

Используя эти сведения, ответьте на вопросы:

a) Сколько учеников в классе Оли?

b) Сколько Олиных одноклассников проводят у телевизора около 1 часа в день?

c) Сколько учеников из класса Оли смотрят телевизор по часу в день и меньше?

d) Какое наибольшее количество часов проводят у телевизоров Олины одноклассники?

Понятно, что та команда, которая отвечала на вопросы, используя таблицу, справится намного быстрее. После соревнования необходимо обсудить с учащимися результат игры и сделать вывод о том, что данные, помещенные в таблицу более удобны для использования, работа с таблицей осуществляется гораздо быстрее и эффективнее, чем со сплошным текстом,  а значит, таблица – это способ структурирования информации, ее представление в более наглядном виде.

Далее необходимо на примере у доски пояснить учащимся, что в самом простом случае таблица делится на строки и столбцы (иногда их называют колонками). Чаще всего каждый столбец имеет название, которое указывается в первой строке таблицы. После этих объяснений важно проиллюстрировать учащимся разнообразные примеры таблиц и попросить привести примеры самих учащихся. Самыми распространенными примерами  в этом случае могут служить: страницы классного журнала, календарь на текущий год, расписание уроков в школе и т. д. Цель рассмотрения этих примеров – формирование у учащихся верных представлений о том, что в жизни очень часто приходится сталкиваться с разнообразными таблицами, поэтому научиться пользоваться информацией помещенной в них и составлять их самим, очень важно.

В особую группу можно выделить таблицы спортивных состязаний. Важно отметить для учащихся, что для правильного понимания, информации помещенной в такую таблицу, необходимо хотя бы минимальное представление о соответствующем виде спорта и действующих в нем правилах. Необходимо подробно рассмотреть с учащимися пример такой таблицы и провести тщательный анализ помещенной в ней информации.

Система задач по этой теме обязательно должна включать задания, формирующие умения извлекать и анализировать информацию, представленную в таблице, а также умения представлять необходимую информацию в виде таблицы. Большинство учебников содержат лишь готовые таблицы для работы, и не хватает заданий на составление таблиц по имеющимся данным. Поэтому в качестве домашнего задания можно предложить учащимся самим провести небольшой опрос среди одноклассников и друзей на разнообразные темы и полученные сведения представить в виде таблицы. Например, можно выяснить, как добираются до школы ученики вашего класса, какие кружки или секции посещают ваши одноклассники, какие домашние животные есть у них дома и т. д. Также для формирования умений представлять необходимую информацию в виде таблицы можно предложить учащимся следующие задачи:

Задача 2. Редакция заключила на шесть месяцев договор с несколькими разно­счиками газет. Данные о количестве проданных газет таковы: разносчик Галкин в январе и феврале продал одинаковое число газет – 194. В марте продажи у Галкина упали, и он продал на 47 газет меньше, чем в предыдущие месяцы. Его напарник Малкин был более успешен в январе и продал 221 газету, но в феврале его дела ухудшились, и он сумел продать всего 103 газеты. В марте же он продал столько же газет, сколько Галкин в феврале. Третий разносчик-Палкин превзошел своих коллег и в январе, феврале и марте продал столько газет, сколько в сумме продали Галкин и Малкин за эти же месяцы. Разносчик Рвалкин работал хуже всех и за все 3 месяца продал всего 141 газету, продавая одинаковое количество газет каждый месяц. Произведите необходимые расчеты и представьте эти сведения в более удобной и наглядной форме.

С помощью таких заданий школьники учатся не только самостоятельно конструировать таблицу, но и выполняют несложные арифметические подсчеты. Задачи такого типа подчеркивают удобство использования таблиц по сравнению с громоздким текстом, и на это стоит обратить внимание школьников при решении этой задачи.  

Постепенно необходимо увеличивать трудность заданий: предлагать уже более обширные таблицы данных, по которым сложнее ориентироваться и, используя их, заполнить новую таблицу:

Задача 3. В журнале регистрировались наблюдения за погодой в течение 3 летних месяцев. Заполните по представленным данным таблицу, содержащую данные о том, сколько каких дней было в каждом из трех летних месяцев и за все лето:

 

Месяц	Ясно	Облачно	Дождь
Июнь
Июль
Август
ИТОГО

 

 

Число	Погода	Число	Погода	Число	Погода
01 июня	☼	01 июля	☼	01 августа	☼
02 июня	◘	02 июля	☼	02 августа	☼
03 июня	☼	03 июля	☼	03 августа	☼
04 июня	☼	04 июля	☼	04 августа	☼
05 июня	◘	05 июля	☼	05 августа	☼
06 июня	◙	06 июля	☼	06 августа	◘
07 июня	☼	07 июля	☼	07 августа	☼
08 июня	◘	08 июля	☼	08 августа	◙
09 июня	☼	09 июля	☼	09 августа	☼
10 июня	☼	10 июля	☼	10 августа	◘
11 июня	☼	11 июля	☼	11 августа	◘
12 июня	◙	12 июля	☼	12 августа	◘
13 июня	☼	13 июля	◘	13 августа	◙
14 июня	◘	14 июля	◘	14 августа	◙
15 июня	◘	15 июля	◘	15 августа	◙
16 июня	◙	16 июля	◘	16 августа	☼
17 июня	◙	17 июля	◙	17 августа	☼
18 июня	☼	18 июля	◙	18 августа	☼
19 июня	◙	19 июля	◙	19 августа	☼
20 июня	☼	20 июля	◙	20 августа	☼
21 июня	◙	21 июля	◙	21 августа	☼
22 июня	☼	22 июля	◘	22 августа	☼
23 июня	☼	23 июля	◘	23 августа	☼
24 июня	◙	24 июля	☼	24 августа	◙
25 июня	◘	25 июля	☼	25 августа	◙
26 июня	◘	26 июля	☼	26 августа	◙
27 июня	◘	27 июля	☼	27 августа	☼
28 июня	☼	28 июля	☼	28 августа	☼
29 июня	☼	29 июля	☼	29 августа	☼
30 июня	☼	30 июля	☼	30 августа	◘
		31 июля	☼	31 августа	◘

 

☼ — ясно, ◘ — облачно, ◙ — дождь

 

 

 

 

После того, как ребята научились работать с таблицами, можно перейти к рассмотрению диаграмм.

Начать знакомство учащихся с диаграммами разумнее с конкретного примера, иллюстрирующего, что такое диаграмма и для чего она нужна. Если с таблицами пятиклассники встречались ранее, то понятие диаграммы может оказаться для них совершенно новым и неясным. Для этого можно рассмотреть у доски такую задачу:

Задача 4. Завод принял заказ на изготовление партии из 2000 деталей. Каждая из деталей по плану должна весить 40 г. Но контрольное взвешивание изготовленной партии деталей дало следующие результаты:

Вес (г)	38	39	40	41	42	43	44	45	46
Число деталей	40	80	220	360	610	430	200	40	20

 

Результаты взвешивания представлены в виде таблицы.

Итак, мы убедились, что таблицы позволяют представить необходимую информацию в более удобной для восприятия форме. Еще более удобным для человека способом представления информации является графический, т.е. на рисунках. Давай­те внимательно посмотрим на рисунок, построенный по нашей таблице:

 

 

Этот рисунок и называется диаграммой. После этого нужно организовать работу учащихся с диаграммой для того, чтобы они смогли оценить достоинства представления данных таким способом. Для этого можно задать им несколько вопросов, например:

a) Деталей какого веса завод выпустил больше всего?

b) Сколько деталей весом 39 г. выпустил завод?

c) Деталей какого веса завод выпустил меньше всего?

d)  Сколько деталей весом меньше 41 г. произвел завод?

Пользуясь рисунком, учащиеся быстро и правильно ответят на поставленные вопросы, после чего учителем должен быть четко сформулирован алгоритм построения диаграммы (он может быть выписан на доске):

1) Построить прямой угол.

2) На горизонтальной стороне угла записать значения какого-либо признака (в нашем случае – вес детали в граммах)

3) Над каждым значением нарисовать столбик, высота которого равна соответствующей величине.

Диаграмма, построенная таким способом, называется столбчатой диаграммой, но если вместо столбиков мы нарисуем линии той же высоты, получим новый вид диаграммы – линейную диаграмму.

Далее необходимо предложить учащимся построить несколько диаграмм для отработки всех шагов алгоритма с подробным разбором у доски:

Задача 5.  Перед вами страница из книги регистрации новорожденных детей

Дата рождения	Имя ребенка
03.03.2005	Татьяна
03.03.2005	Сергей
04.03.2005	Ольга
06.03.2005	Василий
06.03.2005	Евгений
07.03.2005	Василий
07.03.2005	Николай
07.03.2005	Наталья
08.03.2005	Татьяна
09.03.2005	Василий

 

Постройте по таблице:

a) Столбчатую диаграмму

b) Линейную диаграмму.

Задача 6. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по математике: одну «двойку», три «тройки», четыре «четверки» и две «пятерки». Представьте эти сведения в виде таблицы и по полученной таблице постройте столбчатую диаграмму. Ответьте на следующие вопросы:

1) Сколько контрольных по математике написала Лена за год? (ответьте на этот вопрос с помощью таблицы).

2) Сколько положительных оценок получила Лена за контрольные по математике?

Задача 7. Учитель на уроке спросил, сколько книг школьники прочитали за лето. Оказалось, что Аня прочитала 8 книг, а Саша – в 2 раза меньше. Петя не прочитал ни одной книги, Витя прочитал 10 книг, Лена - 7, Игорь – на 4 книги больше, чем Лена. Катя и Оля прочитали по 3 книги. Постройте линейную диаграмму, показывающую, сколько книг каждый из учеников прочитал за лето.

Необходимо научить школьников не только правильно строить диаграммы, но и анализировать информацию на диаграмме. Это можно сделать, используя учебник по математике для 5 класса под редакцией Г. В. Дорофеева и  И.Ф. Шарыгина (№№1232-1240).

 

Класс.

Материал 6 класса призван углублять знания, полученные учениками в 5 классе, а именно: необходимо продолжить работу учащихся с таблицами и диаграммами, познакомить учащихся с еще одним видом диаграмм – круговыми диаграммами, обратить внимание учащихся на возможность взаимозаменяемости различных видов диаграмм и с помощью задач прочно закрепить умения работать с ними. Также можно начать изучение основных статистических характеристик и примеров статистических исследований.

Поскольку этот материал изучается чаще всего в самом конце учебного года, то вначале занятий нужно организовать повторение изученного в 5 классе, чтобы ученики вспомнили, как работать с таблицами и диаграммами.

Повторение можно организовать с помощью следующей системы задач и вопросов:

1. Для чего используются таблицы и диаграммы?

2. Вот пример таблицы, учитывающей расходы (в рублях) семьи Кузнецовых на коммунальные услуги за первую половину года:

3.

Месяц	Квартплата	Газ	Свет	Телефон	ВСЕГО
Январь	320	88	122	98	?
Февраль	426	?	118	128	760
Март	426	92	110	204	832
Апрель	426	92	?	120	736
Май	530	92	92	166	880
Июнь	?	92	?	124	842
ИТОГО	2658	544	636	840	4678

 

a) Заполните недостающие ячейки таблицы. Объясните, как вы это сделали.

b) Объясните, как можно получить итоговую сумму 4678 р. двумя способами?

4. Перед вами страница из книги регистрации новорожден­ных детей:

 

Дата рождения	Имя ребенка	Пол ребенка
03.03.2005	Татьяна	Женский
03.03.2005	Сергей	Мужской
04.03.2005	Ольга	Женский
06.03.2005	Василий	Мужской
06.03.2005	Евгений	Мужской
07.03.2005	Василий	Мужской
07.03.2005	Николай	Мужской
07.03.2005	Наталья	Женский
08.03.2005	Татьяна	Женский
09.03.2005	Василий	Мужской

 

 

Используя эту таблицу, заполните 4 других таблицы и ответьте на следующие вопросы:

а) Какое имя за этот период было самым популярным?

б) Сколько всего разных имен было использовано?

в) Какого числа родилось больше всего детей?

Пол	Количество новорожденных
Мужской
Женский

г)  Какой процент составляют среди новорожденных мальчики?

 

Дата	Количество новорожденных
03.03.2005
04.03.2005
05.03.2005
06.03.2005
07.03.2005
08.03.2005
09.03.2005

 

 

Таблица 2

Имя	Количество новорожденных
Татьяна
Сергей
Ольга
Василий
Евгений
Николай
Наталья

 

4.Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. На диаграмме показано, сколько кусков пиццы съел каждый из них. Ответьте на следующие вопросы:

1) Кто из ребят съел пиццы больше всех?

2) Кто из ребят съел меньше всех?

3) Кто из ребят съел поровну пиццы?

4) Сколько кусков пиццы вместе съели ребята?

5) Сколько кусков пиццы съели вместе Маша, Лена и Катя?

 

 

5. Объясните, используя предыдущий пример, как построить диаграмму. Какие виды диаграмм вы знаете?

6. В таблице приведены данные о среднесуточной температуре первой недели мая:

 

День	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота	воскресенье
Температура (по Цельсию)	6,9	6,5	6,7	6,7	7,1	7,0	7,1

 

Постройте по этим данным: а) столбчатую диаграмму,

                                               b) линейную диаграмму.

После того, как учащиеся справятся с этими заданиями, можно перейти к изучению круговых диаграмм.

 В 5 классе вы строили столбчатые и линейные диаграммы, но существует еще один вид диаграмм – круговые диаграммы. Необходимо продемонстрировать учащимся пример круговой диаграммы, которая может быть построена по таблице 2:

Такая диаграмма представляет круг, разрезанный на дольки, каж­дая из долек соответствует одному из значений изучаемого признака (в на­шем случае — пол ребенка), а ее размер пропорционален интересующей нас величине (количеству новорожденных данного пола).

Как и в 5 классе у учащихся должен быть сформирован четкий алгоритм построения круговых диаграмм:

1. Построить круг.

2. Разделить его на доли. Каждая из долей представляет собой одно из значений рассматриваемого признака, а ее размер пропорционален соответствующей величине.

Необходимо предложить учащимся задания на построение круговых диаграмм по таблицам данных.

Далее важно обратить внимание школьников на возможность взаимозаменяемости различных видов диаграмм. На вопрос учителя «Можно ли, глядя на столбчатую диаграмму, построить по ней линейную?» учащиеся без труда должны ответить «да», поскольку надо всего заменить столбики линиями соответствующей высоты. Значит, используя столбчатую диаграмму, можно построить линейную и наоборот. Аналогично, из столбчатой или линейной диаграммы можно построить круговую, и наоборот. Для закрепления этих сведений нужно предложить школьникам задания, требующие построить диаграмму другого вида по имеющейся, которые целесообразно рассмотреть с полным решением у доски.

Задача 1.  На автотранспортном предприятии произвели учет расхода бензина машинами марок ЗИЛ-112, ВАЗ-1011, КАМАЗ. Полученные данные представили в виде столбчатой диаграммы

Постройте по этим сведениям линейную и круговую диаграмму.

Задача 2. На круговой диаграмме показан вес перевезенного груза (в тоннах) машинами марок ЗИЛ-112, ВАЗ-1011, КАМАЗ. Постройте столбчатую и линейную диаграммы.

Для формирования умений анализировать информацию, представленную на диаграмме, можно использовать учебник по математике для 6 классапод редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина (№№                   ).

Заканчивая изучение таблиц и диаграмм, необходимо подвести итог. Важно отметить, что таблицы и диаграммы – средство удобного и наглядного представления разнообразных данных и сведений, они часто используются в жизни. Но еще более необходимы и нужны они в статистике. После этого можно перейти к рассмотрению основных статистических характеристик и примеров простейших исследований.

Необходимо сказать и несколько слов учащимся о науке статистике.