Пример сингулярного разложения

Проведем преобразование Хаусхолдера на матрице ,

К первой компоненте первого столбца прибавляем норму первого столбца, получим . Пусть

Преобразованная матрица A₂ вычисляется следующим образом. Для первого столбца имеем:

так как

Таким образом, в первый столбец были введены нули и его длина не изменилась. Получим второй столбец:

для третьего столбца:

окончательно,

Столбцы матрицы A₂ получаются вычитанием кратных вектора v₁ из столбцов A₁. Эти кратные порождаются скалярными произведениями, а не отдельными элементами, как в гауссовом исключении.

Прежде чем вводить дальнейшие нули под диагональю, преобразованием вида A₃=A₂Q₁, получают нули в первой строке. Нули уже стоящие в первом столбце, не должны быть испорчены, длина первого столбца должна быть сохранена; поэтому при внесении нулей в первую строку нельзя менять первый элемент строки, изменяем второй элемент и зануляем третий. Для матрицы большего размера на этом шаге было бы получено n–2 нуля.

Преобразование порождается первой строкой A₂:

Строка матрицы A₃ с номером i получается по формуле

.

Таким образом, из каждой строки A₂ вычитается надлежащее кратное . Это дает матрицу

Поскольку первая компонента нулевая, то нули первого столбца A₂ сохраняются в A₃, Так как Q₁ ортогональная, то длина каждой строки в A₃ равна длине соответствующей строки в A₂.

Теперь можно добиться новых нулей под диагональю, не испортив полученных ранее:

Поскольку ранг этой матрицы равен лишь 2, то теперь третий столбец имеет на диагонали и под диагональю элементы порядка ошибки округления. Эти элементы обозначены в матрице через 0.000, чтобы отличить их от элементов, в точности равных нулю. Если бы матрица имела полный ранг, то нужно было бы выполнить еще одно преобразование, чтобы получить нули в третьем столбце:

Если бы не ошибки округлений, то в данном примере третий диагональный элемент был бы точным нулем. Элементы под диагональю во всех столбцах указаны как точные нули, потому что преобразования так и строились, чтобы получить там нули. Последнее преобразование H₃ в этом примере могло бы быть тождественным, однако тогда оно не было бы хаусхолдеровым отражением. Фактически использование H₃ попутно изменяет знак элемента – 1.080 в матрице A₄.

Получилась искомая двухдиагональная матрица, и первый этап закончен. Прямое использование ортогональных преобразований не позволяет получить какие–либо новые нули. Для общего порядка n нужно n преобразований H и n–2 преобразований Q, чтобы достигнуть данного места. Число преобразований не зависит от строчной размерности m, но от m зависит работа, затрачиваемая на выполнение каждого преобразования.