Этапы процесса решения задачи

 

Если под процессом решения задач понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то очевидно, что этот процесс состоит не только из изложений уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.

Из каких же этапов состоит процесс решения задачи?

Очевидно, получив задачу, первое, что нужно сделать, это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т.е. провести анализ задачи. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это будет четвертый этап процесса решения – этап осуществления (изложения) решения.

После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи, - это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1 этап – анализ задачи;

2 этап – схематическая запись задачи;

3 этап – поиск способа решения задачи;

4 этап – осуществление решения задачи;

5 этап – проверка решения задачи;

6 этап – исследование задачи;

7 этап – формулирование ответа задачи;

8 этап – анализ решения задачи.

Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задачи, поэтому приведем пример решения задачи.

Задача.

Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

1. Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывут и лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояние, а время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.

2. Схематическая запись задачи.

 

лодка 6ч  А В

плот лодка  8 ч

 

3. Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они известны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой  (км), а скорость течения реки примем равной  км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна  км/ч. Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4. Осуществление решения задачи. Итак, пусть расстояние АВ равно s км, скорость течения реки  км/ч, собственная скорость лодки  км/ч, а искомое время движения плота на пути в км равно  часов.

Тогда скорость лодки по течению реки равна  км/ч. За 6 ч лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в  км. Следовательно.

 

 (1)

 

Против течения эта лодка идет со скоростью  км/ч и путь АВ в км она проходит за 8 ч, поэтому

 

 (2)

 

Наконец, плот, двигаясь со скоростью  км/ч, покрыл расстояние  км за  ч, следовательно,

 (3)

 

Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему уравнений относительно неизвестных  и . Так как требуется найти лишь , то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем

 

.

 

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

решение задача текстовый алгебраический

, отсюда .

 

Поставим найденное выражение для  в уравнение (3)

 

.

 

Так как, очевидно,  не равно нулю, то можно обе части полученного уравнения разделить на . Тогда найдем: .

5. Проверка решения. Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна  км/ч. Скорость же лодки по течению равна  км/ч, а против течения  км/ч. Для того чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

1) от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т.е. ,

2) к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, т.е. .

Произведя вычисления, получаем верное равенство: .

Значит, задача решена правильно.

6. Исследование задачи. В данном случае этот этап решения не нужен.

7. Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.

8. Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было нам лишь одно из этих неизвестных. Поэтому, естественно, возникает мысль, что проведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против – за 8 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит  часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними  есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит, плот за 1 ч проплывет  часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

Как видим, при таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако, несомненно, это решение сложнее приведенного выше, хотя бы потому, что не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки. Часто также эту разность принимают не за удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотом за 1 ч, а за скорость плота, что, конечно, приводит к ошибочному результату.

Как мы уже знаем, решение задачи состоит из последовательности шагов (действий). Поэтому отыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделать для того, чтобы решить задачу.

Вот этим и занимается математика, установлением для многих видов задач правил, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи.

Приведем некоторые такие правила.

1. Словесное правило. Примером такого правила может служить правило нахождения степени произведения, которое изучается в 6 классе: степень произведения равна произведению степеней сомножителей.

Это правило позволяет составить такую последовательность шагов: 1) установить все сомножители произведения; 2) найти данную степень каждого из этих сомножителей; 3) результаты второго шага перемножить.

2. Правило-формула. Примером такого правила служит формула корней квадратного уравнения. В курсе алгебры 7 класса эта формула дается в таком виде: корни уравнения , если  и , где , можно вычислить по формуле .

В этом правиле легко указать последовательность шагов на основе указанного правила-формулы: 1)проверим условие: ; 3) находим: ; 3) проверяем условие ; если эти условия выполнены, то вычисляем корни по формуле .

3. Правило-тождество. Примером такого правила может служить тождество квадрата двучлена, которое изучается в 6 классе: .

Словесная формулировка этого тождество такова: квадрат двучлена равен сумме квадрата первого члена на удвоенное произведение первого и второго членов и квадрата второго члена.

В соответствии с этим тождеством можно составить такую последовательность шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвести первый член в квадрат; 4) возвести второй член двучлена в квадрат; 5) составить произведение первого и второго членов двучлена; 6) результат пятого шага удвоить; 7) результаты 3, 4, и 6-го шагов сложить.

4. Правило-теорема. Многие теоремы могут служить правилами для решения задач соответствующего вида. Например, теорема: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и длина ее равна полусумме длин оснований, изучается в курсе геометрии в 7классе. Последовательность шагов очень простая: 1) устанавливаем длину основания трапеции; 2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.

5. Правило-определение. Иногда основой для правила решений задач некоторого вида может служить определение соответствующего понятия. Например определение решения систем неравенств с одной переменной. Это определение дано в учебнике алгебры 7 класса в таком виде: решением систем неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Последовательность шагов к данному правилу будет такова: 1) решить каждое из неравенств системы, получим для каждого неравенства числовой промежуток – его решение; 2) найти пересечение полученных числовых промежутков. Найденное пересечение и будет решением системы неравенств.

Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила или эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, назовем стандартными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполне определенные правила.

Что такое стандартная задача понятно, но если есть стандартная, значит, есть и нестандартная. Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Задача.

Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 минут. С какой скоростью шли туристы первоначально?

Решение. Эта задача является текстовой. Для подобных задач никакого общего правила, определяющего точную программу их решения, не существует. Однако общие указания для решения таких задач есть.

Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через  км/ч. Тогда за 6 ч, за которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли  км. Фактически этот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью, а затем еще 4,5 ч (т.к. они опоздали на 0,5 ч к сроку) – с уменьшением скорости  км/ч. Следовательно, они прошли  км и  км, а всего  км, что равно расстоянию от реки до турбазы, т.е.  км. Получаем уравнение: .

Решив это уравнение, найдем:  Значит, первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч.

Итак, процесс решения нестандартной задачи состоит в последовательном применение двух основных операций:

1) сведение нестандартной задачи к другой ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;

2) разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

В зависимости от характера нестандартной задачи мы используем либо одну из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти операции приходиться использовать многократно.

Существуют различные методы решения текстовых задач [6]: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом – строятся диаграммы ил графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма. Различные методы решения конкретной задачи будем называть способами решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем то одним?

Решение.

1 способ.

1) 82+32+78=192 чел. – удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192÷2=96 чел. – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96_32=64 чел. – поют в хоре;

4) 96-78=18 чел. – занимаются танцами;

5) 96-82=14 чел. – занимаются художественной гимнастикой.

2 способ.

1) 82-32=50 чел. – на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2) 50+78=128 чел. – удвоенное число студентов поющих в хоре;

3) 128÷2=64 чел. – поют в хоре;

4) 78-64=14 чел. – занимаются художественной гимнастикой;

5) 82-64=18 чел. – занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре; 14 студентов занимаются художественной гимнастикой; 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений, в основе составления которых лежат различные соотношения меду данными и искомыми.

Пример. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справиться с заданием за 2 дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1 способ. Пустьx д./день – первоначальная производительность рабочего. Тогда (x+10) д./день – новая производительность, 3x д. – число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3x=2(+10), решив, которое найдем x=20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2 способ. Пусть x д. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда x/2 д./день – новая производительность, (x/2-10) д./день – первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение x=3(x/2-10), решив которое найдем x=60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день, 60 деталей.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее построения используются различные построения или свойства фигур.

Логический метод. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задаче о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».

Практический метод. решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.д.)

Т.к. тема нашей курсовой решение текстовых задач алгебраическим способом, именно его рассмотрим более подробно.

Алгебраический метод решения задачи позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличаются друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того математического рассуждения, одних и тех же соотношений, т.е. имеют одну и туже математическую модель.

Рассмотрим классификацию задач решаемых алгебраическим способом по фабуле, из-за многообразия уравнений и неравенств [6].

Задачи на движение

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути, скорости и времени. Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении. В этих задачах весьма полезно делать иллюстрированный чертеж, который помогает в составлении уравнений и неравенств.

Данную группу задач, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу, 2) в одном направлении(«вдогонку»), 3) в противоположных направлениях, 4) по замкнутой траектории, 5) по течению реки.

Задачи на работу.

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе, времени, в течение которого производится работа, производительности – работе, произведенной в единицу времени. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу можно отнести к группе задач на движение, т.к. в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по сюжету, фабуле эти задачи совершенно отличаются.

Задачи на смеси и проценты.

К этой группе задач относятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты

Мы рассмотрели некоторые классификации задач, а сейчас мы бы хотели рассмотреть более подробно решение задач с помощью математического моделирования.