Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать задачи алгебраическим способом

Многие учителя математики, работая с текстовыми задачами, стремятся в процессе обучения как можно быстрее перейти к решению их алгебраическим способом, не понимая, что решение текстовой задачи арифметическим способом (т.е. по действиям, с постановкой вопросов к каждому действию или с пояснением) учит детей особому способу мышления – синтезу (от данных к искомому), в то время как «алгебраический» способ решения задачи учит анализу (от искомого к данным). Если учесть, что после прохождения курса математики 5-6 класса учащиеся в курсе алгебры основной школы длительное время решают текстовые задачи только алгебраическим способам, т.е. составлением уравнения (или системы уравнений), и тем самым учатся мыслить аналитически, становится ясно, что исключение или сокращение числа текстовых задач, решаемых арифметически из практики обучения в 5-6 классах (и в начальной школе) не только обедняет само обучение математике, но и лишает учащихся разностороннего математического развития. Подчеркнем, что при решении текстовой задачи арифметическим способом на уровне поиска решения идет обучение детей не только синтезу (зная …, можно узнать … ), но и анализу (чтобы узнать …, нужно знать …).

В виду методической значимости заявленной проблемы рассмотрим более подробно в данном параграфе взаимосвязь анализа и синтеза, которая ярко иллюстрируется при решении текстовых задач курса математики 5-6 класса.

В психологии установлено, что полноценное мышление человека формируется только тогда, когда он владеет аналитико-синтетическим способом рассуждений. Всякая составная текстовая задача представляет собой логически связанную последовательность простых задач. Структура этой последовательности и определяет ход решения задачи, ведущего от условия к искомому результату. Трудность решения задачи, которая не является стандартной (задачей с известным ходом решения) и состоит в обнаружении этой последовательности действий. Явно или неявно всякий человек, решающий поставленную задачу использует аналитико-синтетический способ рассуждений.

Проиллюстрируем этот метод рассуждений на примере задачи 5 класса.

Задача. «Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Первый шел со скоростью 50 км/ч, а второй – 40 км/ч. Их встреча произошла в 20 км от середины пути АВ. Найти расстояние между пунктами А и В.»

Представим условие задачи на схеме:

2 автобус – 40 км/ч 1 автобус – 50 км/ч

 20км 20км

1) Проведем рассуждения аналитически, сопровождая их схемой и записью решения.

Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем до встречи, нужно знать скорость их сближения и время сближения. скорость сближения находится действием: 50+40=90 (км/ч) Чтобы узнать время сближения, нужно узнать разницу в пройденном пути и в скоростях движения, из-за которой один путь оказался меньше другого. Оба результата находятся так: 50-40=10 (км/ч), 20+20=40 (км). Теперь нетрудно получить результат: 40÷10=4 (ч), 90×4=360 (км).

Расстояние АВ 90×4=360 скорость время сближения сближения 50+40=90 40÷10=4   разность разность расстояния скорости 20+20=40 50-40=10

Решение

Пусть x(км) – расстояние АВ, тогда x/2+20 (км) – расстояние, пройденное 1 автобусов до встречи, а x/2-20 (км) – расстояние, пройденное 2 автобусом до встречи.

(ч) – время движения 1 автобуса, а  (ч) – время движения 2 автобуса.

Составляем уравнение:

x = 360 (км).

2) Проведем теперь рассуждения синтетически, также сопровождая их схемой и записью решения.

Решение

1) 20+20=40(км),

2) 50-40=10 (км/ч),

3) 40÷10=4(ч),

4) 50+40=90(км/ч),

5) 90×4=360 (км).

Анализ открывает путь решения задачи, а синтез осуществляет это решение. Поэтому анализ иногда называют методом открытия. А синтез методом обоснования. Решая любую текстовую задачу арифметическим способом, ученик (и учитель) обязательно намечают план решения (а это и есть скрытый анализ), и уже затем формулируют первый вопрос (или записывают первое действие). Решение многих текстовых задач методом уравнений, несомненно, легче, чем их решение арифметическим методом. Вместе с тем, следует помнить, что только анализ не имеет доказательной силы и поэтому всегда соседствует с синтезом. Поэтому решение задачи методом уравнений нуждается в смысловой проверке, а выкладки, полученные аналитическим путем (от искомого к данным) нуждаются в синтетическом подтверждении (от данных к искомому).

При работе с текстовыми задачами, необходимо, прежде всего, помнить, что важно не столько решить задачу, сколько научить учащихся решать задачи, догадываться, рассуждать, обосновывать или опровергать свои догадки и уметь проверять полученный результат.

Работа по формированию умений перевода сюжета задачи на математический язык разбивается на несколько этапов.

1 этап. Составление и расшифровка числовых выражений

2 этап. Составление буквенных выражений

3 этап. Расшифровка буквенных выражений в соответствии с данной ситуацией.

4 этап. Составление равенств.

5 этап. Расшифровка равенств.