Линейные отображения. Действия с матрицами
Матрицы и отображения
Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера . Определим отображение , полагая для любого
где --- столбцы матрицы . Так как они имеют высоту , то в правой части (1) стоит вектор-столбец . Более подробно (1) переписывается в виде
Если , то . Аналогично . Обратно, предположим, что --- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами: (i) для всех ; (ii) для всех . Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств и соответственно символами и , мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору :
Соотношение (2) показывает, что отображение полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив
мы обнаруживаем, что задание равносильно заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить . 3.1.1 . Определение. Отображение , обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в . Часто, в особенности при , говорят о линейном преобразовании. Матрица называется матрицей линейного отображения . Пусть , --- два линейных отображения с матрицами и . Тогда равенство равносильно совпадению значений для всех . В частности, , откуда и . Резюмируем наши результаты:
3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями в и матрицами размера существует взаимно однозначное соответствие. Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях произвольных множеств и . Условия (i), (ii) предполагают, что и --- подпространства арифметических линейных пространств , . Обратим внимание на специальный случай , когда линейное отображение , обычно называемое линейной функцией от переменных, задается скалярами :
Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных и можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть --- два линейных отображения. Отображение
определяется своими значениями:
В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов. Так как
то - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером :
Матрицу с элементами естественно назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и :
Итак, . Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.
Произведение матриц
Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается. Пусть , --- линейные отображения, --- их композиция. Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что --- линейное отображение, но это довольно ясно: (i) ; (ii) ;
поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица . Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ( ):
С другой стороны,
Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что --- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям
Будем говорить, что матрица получается в результате умножения матрицы на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется прямоугольная матрица размера с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана 3.2.1 Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,
Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6). Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец ", согласно которому
Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример:
Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике. Следствие. Умножение матриц ассоциативно:
Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).
Квадратные матрицы
Пусть (или ) --- множество всех квадратных матриц ( ) порядка с вещественными коэффициентами , Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица
Можно записать , где
- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на , показывает, что справедливы соотношения
Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с . Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу . Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:
- известная нам скалярная матрица. В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.
3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной. Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,
Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы
с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и . Меняя и , получаем требуемое. Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц. Для данной матрицы можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие
Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие
означающее, что --- преобразование, обратное к . существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что
Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы
и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим
Так как , то
откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что , --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где --- некоторая матрица. Переписав условие ( ) в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12). Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование биективно. При этом преобразование линейно. Биективность равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)
где --- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого , а инъективность дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы , так что . Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ( ))
Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными). Резюмируем полученные нами результаты.
3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14). Следствие. Невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и . Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия . Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:
где , , --- произвольные матрицы из . Действительно, полагая , мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):
левая часть которого дает элемент матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности
для линейных отображений , , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из ( ), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто. Заключение
Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (349)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |