Метод эквивалентного преобразования пассивного соединения «треугольник» в соединение «звезда».

Суть метода заключается в том, что методом преобразования уменьшают число ветвей и узлов в электрической цепи, а, значит, количество уравнений описывающих данную цепь.

Преобразования должны быть эквивалентными – это означает, что токи и их направления в частях схемы, не затронутых преобразованиями, остаются неизменными.

Для “звезды” : U₁₂ = I₁R₁ - I₂R₂

Для “треугольника”: U₁₂ = I₁₂R₁₂ U₂₃ = I₂₃R₂₃ U₃₁ = I₃₁R₃₁

I₁₂R₁₂ +I₂₃R₂₃ +I₃₁R₃₁ =0

По первому закону Кирхгофа:

-I₁₂ +I₂₃-I₂ =0 => I₂₃ = I₂+ I₁₂

-I₁-I₃₁+I₁₂ =0 => I₃₁ = I₁₂- I₁

По второму закону Кирхгофа:

I12R12 + I23R23 + I31R31 = 0

На основании первого закона выполним замену:

I₁₂R₁₂ + I₂R₂₃ + I₁₂R₂₃ + I₁₂R₃₁ - I₁R₃₁=0

Находим I₁₂:

Анализируя последнее и предпоследнее выражения, легко заметить, что R1 и R2 соответственно равны:

R₁=R₃₁R₁₂/(R₁₂+R₂₃+R₃₁)

R₂=R₂₃R₁₂/(R₁₂+R₂₃+R₃₁)

Аналогично находится и R3 :

R₃=R₃₁R₂₃/(R₁₂+R₂₃+R₃₁)

3 Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

, (1.19)

где I – ток, протекающий по цепи;

E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг – сопротивление генератора;

Rц – сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

, (1.20)

где I – ток, протекающий на участке цепи;

R – сопротивление участка цепи;

U – напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

, (1.21)

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.

Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать

или

.

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

, (1.22)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

нулю.

Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

, (1.23)

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

.