Глава 3. Интегрально исчисление

Неопределенный интеграл

Определения и свойства

Определение 1. Функция  называется первообразной для , если .

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где c - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла:

2. Дифференциал неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала:  

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:

 

;

 

5. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

 

 

Таблица интегралов

 

 

Основные методы интегрирования

1. Использование свойств неопределенного интеграла.

Пример 29.

 

 

2. Подведение под знак дифференциала.

Пример 30.

 

 

3. Метод замены переменной:

а) замена  в интеграле

 

:

,

 

где  - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции .

Пример 31.

 

 

б) замена  в интеграле вида:

 

;

 

Пример 32.

 

 

Пример 33.

 

 

4. Метод интегрирования по частям:

 

 

Пример 34.

 

 

Пример 35.

 

 

Возьмем отдельно интеграл

 

Вернемся к нашему интегралу:

 

 

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла и его свойства

Определение. Пусть на некотором интервале  задана непрерывная функция . Построим ее график.

 

 

Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми  и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.

S – область – криволинейная трапеция.

Разделим интервал точками  и получим:

 

 

Интегральная сумма:

 

Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

 

 

 

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

 

 

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c :

 

 

 

4. Если на отрезке , то и

 

 

 

5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:

 

6.

 

7. Интеграл в точке равен 0:

 

8.

 

9. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда , где , f(c) – среднее значение f(x) на [a,b]:

 

 

10. Формула Ньютона-Лейбница

 

,

 

где F(x) – первообразная для f(x).

Методы вычисления определенного интеграла.

1. Непосредственное интегрирование

Пример 35.

а)

б)

в)

д)

2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.

 

 

Пример 36.

 

 

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

 

Пример 37.

 

а)

б)

в)

д)