Теория потребительского спроса

 

В теории потребления полагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить на покупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом: найти потребительский набор , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Математическая модель этой задачи:

 

 

В случае набора из двух товаров:

 

 

Геометрически решение этой задачи – это точка касания границы бюджетного множества G и линии безразличия.

 

 

Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:

 

                                                                            (1)

 

Решение этой системы  является решением задачи потребительского выбора.

Решение задачи потребительского выбора  называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен  и дохода I. Т.е. точка спроса является функцией спроса. В свою очередь функция спроса – это набор n функций, каждая из которых зависит от  аргумента:

 

 

Эти функции называются функциями спроса соответствующих товаров.

Пример 54. Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них  и  и дохода I найти функции спроса, если функция полезности имеет вид .

Решение. Продифференцируем функцию полезности:

 

.

 

Подставим полученные выражения в (1) и получим систему уравнений:

 

 

В данном случае расход на каждый товар составит половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.

Пример 55. Пусть функция полезности для первого товара , второго ,

цена первого товара , цена второго . Доход . Какое количество товара должен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?

Решение. Найдем производные функций полезности, подставим в систему (1) и решим ее:

 

 

Этот набор товаров является оптимальным для потребителя с точки зрения максимизации полезности.

 

Задания для домашней контрольной работы

 

Контрольная работа должна быть выполнена в соответствии с вариантом, выбираемым по последней цифре номера зачетной книжки в отдельной тетради. Каждая задача должна содержать условие, подробное решение и вывод.

1. Введение в математический анализ

Задача 1. Найти область определения функции.

 

1.

2.

3.

4.  

5.

6.  

7.

8.

9.

10.

 

Задача 2. Найти пределы функций.

 

 

 

 

 

 

.

 

Задача 3. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

 

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

 

Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

Задача 4. Найти производные данных функций.

 

1.  а) ; б)  в) y = ;

г) y = x⁶ +  + + 5; д) y = x tg x + ln sin x + e^3x;

е) y = 2 ^{x - arcsin x}.

2. а) ; б) y = ; в) y = ; г) y = x² – + 3; д) y = e ^cos ; е) y = .

3. а) y =  lnx; б) y = ; в) y = ln ;

г) y = ; д) y = x⁷ + + 1; е) y = 2 .

4. а) y = ; б) y = (e^5x – 1)⁶; в) y = ; г) y = ; д) y = x⁸ + + + 5; е) y = 3 ^{x - arcsin x}.

5. а) y = 2x³ - + e^x; б) y = ; в) y = ;

г) y = ; д) y = 2 ^cos ; е) y = .

6. а) y =  lnx; б) y = ; в) y = ln ;

г) y = ; д) y = x⁷ + + 1; е) y = 2 .

7. а) ; б) y = ; в)y = ; г)y = x² + x sin x + ; д) y = e ^cos ; е) y = .

8. а) y = ; б) y = (3^x – 4)⁶; в) y = sin tg ;

г) y = 3x⁴ –  – 9 + 9; д) y = ;

е) y = x² + arcsin x - x .

9. а) ; б) ; в) y = ; г) y = 5 ^sin3x; д) y = x³ –  – 6 + 3; е) y = 4x ⁴  + ln .

10. а) б) y = ; в) y = (3^x – 4)⁶; г) y = ; д) y = x² - x ; е) y = e ^{sin3x + 2}.

 

Задача 5. Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. а)  б)  в) .

2. а)  б)  в) .

3. а)  б)  в) .

4.  б)  в)  

5. а)  б)  в) .

6. а)  б)  в) .

7. а)  б)  в) .

8. а)  б)  в) .

9. а)  б)  в) .

10. а)  б)  в) .

 

Задача 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

 

Глава 3. Интегральное исчисление

 

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

 

1. а) б) ;

в) ; г) .

2. а) ;б)  в)  г) .

3.  

4.  г)

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. а) ; б) ; в) ; г)  

7. а) ; б) ; в) ; г)

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б)  в) ; г) .

10. а) б)  в) ; г) .

 

Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

 

1.

2.

3.  

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

 

Задача 9. Найти несобственные интегралы или доказать, что они расходятся.

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

 

Задача 10. Найти площадь области, ограниченной кривыми

 

1. .2. .

3. 4.

5. 6.

7. , .8. .

9.

10. , .

 

Глава 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

 

Задача 11. Найти область определения функции (показать на чертеже).

 

1.

2. .

3. .

4.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10.

 

Задача 12. Исследовать на непрерывность функции при

 

 и .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Задача 13. Найти производную неявно заданной функции.

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

 

Задача 14. Вычислить приближенно

 

1. а) ;б) ; в)

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. а) ; б) ; в) .

6. а) ; б) ; в) .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ;б) ; в)

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ;б) ; в)

 

Задача 15. Исследовать функцию на экстремумы.

 

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

 

Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в данной замкнутой области.

 

1.  в прямоугольнике

2.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

3.  в прямоугольнике

4.  в области, ограниченной параболой

 и осью абсцисс.

5.  в квадрате

6.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

7.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

8.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

9.  в области, ограниченной параболой

 и осью абсцисс.

10.  в области, ограниченной параболой

 и осью абсцисс.

 

Литература

 

Основная

1. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании: Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.

2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономических специальностей: Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.

3. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономического бакалавриата. Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2005.

4. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, - 2-е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ, 2003.

5. Кремер Н.Ш, Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, - 2-е изд., перераб. и доп. – М: Высшее образование, 2007. – 893с. – (Основы наук)

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. высшая школа. 1999.

Дополнительная

1. И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. «Гуманитарный издательский центр Владос», 2002.

2. И.А. Зайцев. Высшая математика. «Высшая школа», 1998.

3. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике / в двух частях/. М. Финансы и статистика. 1999.