Определение производной
Определение производной Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
или .
Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:
Основные правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций
Пример 17
а) б) в) Производные высших порядков
Производная второго порядка функции Производная второго порядка функции :
Пример 18. а) Найти производную второго порядка функции . Решение. Найдем сначала производную первого порядка . От производной первого порядка возьмем еще раз производную . Пример 19. Найти производную третьего порядка функции . Решение.
. Исследование функций 2.4.1 План полного исследования функции: План полного исследования функции: 1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность; - найти точки пересечения с осями координат; - определить участки знакопостоянства. 2. Асимптоты: - найти вертикальные асимптоты , если ; - найти наклонные асимптоты: . Если любое число, то – горизонтальные асимптоты. 3. Исследование с помощью : - найти критические точки, те. точки в которых или не существует; - определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ; - определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума. 4. Исследование с помощью : - найти точки, в которых или не существует; - найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ; - найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак. 5. Построение графика функции. Рекомендации по применению плана исследования функции: 1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения. 2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках. 3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.). 4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции. 2.4.2 Примеры исследования функции:
20. .
1) 2) Функция нечетная:
.
3) Асимптоты. – вертикальные асимптоты, т.к.
Наклонная асимптота .
5)
– точка перегиба.
Схематичный график данной функции:
21.
1) 2) Функция нечетная:
3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Наклонные:
– наклонные асимптоты 4) – функция возрастает. 5) ,
– точка перегиба. Схематичный график данной функции:
22.
1) 2) Функция общего вида 3) Асимптоты
– наклонных асимптот нет
– горизонтальная асимптота при
4)
– точка перегиба
Схематичный график данной функции: 23.
1) 2) Асимптоты. – вертикальная асимптота, т.к.
– наклонных асимптот нет , – горизонтальная асимптота
Схематичный график данной функции: 24.
1) 2) Асимптоты – вертикальная асимптота при , т.к.
– наклонных асимптот нет , – горизонтальная асимптота 3) – функция убывает на каждом из промежутков.
Схематичный график данной функции:
2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой: 1. Найти производную функции . 2. Найти критические точки функции, в которых или не существует. 3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее и наименьшее . Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
25. на промежутке 1) 2) – критические точки 3) , – – 26. на промежутке .
Производная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение . Правило Лопиталя
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Т.е. при раскрытии неопределенностей вида или можно использовать формулу:
.
Примеры.
27. 28.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (204)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |