Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)

 

Так как геометрически очевидно, что  и , то

 

 Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)

 

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Примеры

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

 

1)z = 1 + i Þ

,

 Þ  

Þ ;

 

 

2) Þ

,

 Þ  

Þ ;

 

 

3) Þ

,

 Þ

 Þ

;

 

 

4) ,

;

 

 

5) ,

;

 

 

6) ,

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.)

Сложение (вычитание) комплексных чисел

z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)

 

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Примеры

 

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

Основные свойства сложения

 

1)z1 + z2 = z2 + z1;

2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

3)z1 – z2 = z1 + (– z2);

4)z + (–z) = 0;

5) .

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

 

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой  и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Примеры

 

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.

 

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)×r2(cosj2 + isinj2) =

= r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =

= r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))

Þ

 

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример

 

Основные свойства умножения

1)z1×z2 = z2×z1 — коммутативность;

2)z1×z2×z3 = (z1×z2)×z3 = z1×(z2×z3) — ассоциативность;

3)z1×(z2 + z3) = z1×z2 + z1×z3 — дистрибутивность относительно сложения;

4)z×0 = 0; z×1 = z;

5) .

Деление комплексных чисел

Деление — это обратная умножению операция, поэтому

если z×z2 = z1 и z2 ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

 

 Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)

 

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

 

 Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)

 

Примеры

 

1) ;

2) .