Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел)

 

1. Алгебраические уравнения первой степени:

,  – единственный простой корень.

Пример

 

.

 

Ответ: .

2. Квадратные уравнения:

,  – всегда имеет два корня (различных или равных).

Примеры

1) .

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3) , .

Ответ: , .

3. Двучленные уравнения степени :

,  – всегда имеет  различных корней.

Пример

 

,

;

;

.

 

Ответ: , .

4. Решить кубическое уравнение .

Решение.

Уравнение третьей степени  имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу . Вычисляем это деление «в столбик»:

 

_
	_
		_

 

Представляя теперь многочлен  в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

 

.

 

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

 

.

 

Ответ: , .

5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x1 = 3 и x2 = 1 + i являются его корнями, причем x1 является двукратным корнем, а x2 — простым.

Решение.

Число  тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x1, x1, x2, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x1, x1, x2,  по формуле (6):

 

 Þ

.

 

Искомое уравнение имеет вид P4(x) = 0.

Ответ: .

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте определение комплексного числа

2. Что называется комплексным числом?

3. Какое название или смысл имеет формула?

4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

5. ⌂ .

6. Что такое мнимая единица?

7. Что такое действительная часть комплексного числа z?

8. Что такое мнимая часть комплексного числа z?

9. Что такое комплексно сопряженное число?

10. Что такое противоположное число?

11. Что такое комплексный ноль?

12. Что такое чисто мнимое число?

13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.

14. В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?

15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

16. Что называется модулем комплексного числа?

17. Что такое аргумент комплексного числа?

18. Какое название или смысл имеет формула?

19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

20. ⌂ .

21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?

22. Какое название или смысл имеет формула?

23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

24. ⌂ .

25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?

26. Что называется тригонометрической формой комплексного числа?

27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.

28. Какое название или смысл имеет формула?

29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

30. ⌂.

31. Какое название или смысл имеет формула?

32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

33. ⌂ .

34. Какое название или смысл имеет формула?

35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

36. ⌂ .

37. Что такое формула Муавра?

38. Какое название или смысл имеет формула?

39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

40. ⌂ .

41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?

42. Какое название или смысл имеет формула?

43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

44. ⌂ .

45. Что называется показательной формой комплексного числа?

46. Какое название или смысл имеет формула?

47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

48. ⌂ .

49. Что такое формулы Эйлера?

50. Какое название или смысл имеет формула?

51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

52. ⌂ .

53. Что называется целой функцией?

54. Что называется алгебраическим многочленом?

55. Что называется полиномом?

56. Что такое степень многочлена?

57. Что такое коэффициенты многочлена?

58. Что называется алгебраическим уравнением n-й степени?

59. Что называется нулем функции?

60. Что называется корнем уравнения?

61. Перечислите основные свойства многочленов.

62. Сформулируйте свойство о тождественном равенстве многочленов.

63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).

64. Сформулируйте теорему теорема Безу.

65. Какое название или смысл имеет формула?

66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

67. ⌂ .

68. Сформулируйте свойство о существовании нуля многочлена.

69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.

70. Какое название или смысл имеет формула?

71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

72. ⌂ .

73. Что называется k-кратным нулем многочлена?

74. Что называется простым нулем многочлена?

75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.

76. Сформулируйте свойство о комплексных корнях алгебраического уравнения

77. с действительными коэффициентами.

78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

79. Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

 

Глоссарий

 

k-кратным нулем многочлена называется... (стр. 18)

алгебраическим многочленом называется... (стр. 14)

алгебраическим уравнением n-й степени называется... (стр. 14)

алгебраической формой комплексного числа называется... (стр. 5)

аргумент комплексного числа это... (стр. 4)

действительная часть комплексного числа z это... (стр. 2)

комплексно сопряженное число это... (стр. 2)

комплексный ноль это... (стр. 2)

комплексным числом называется... (стр. 2)

корнем степени n из комплексного числа называется... (стр. 10)

корнем уравнения называется... (стр. 14)

коэффициенты многочлена это... (стр. 14)

мнимая единица это... (стр. 2)

мнимая часть комплексного числа z это... (стр. 2)

модулем комплексного числа называется... (стр. 4)

нулем функции называется... (стр. 14)

показательной формой комплексного числа называется... (стр. 11)

полиномом называется... (стр. 14)

простым нулем многочлена называется... (стр. 18)

противоположное число это... (стр. 2)

степень многочлена это... (стр. 14)

тригонометрической формой комплексного числа называется... (стр. 5)

формула Муавра это... (стр. 9)

формулы Эйлера это... (стр. 13)

целой функцией называется... (стр. 14)

чисто мнимое число это... (стр. 2)