I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.
Кинематика материальной точки. Задачи по курсу общей физики Для студентов астрономического отделения.
(1)Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга (2)Физический факультет МГУ, кафедра общей физики Введение В основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ. При изучении механики материальной точки, в особенности её разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономические приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий практически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволинейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит космических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, обращение звёзд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место постепенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием задачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий. Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала даёт студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе «кинематика» как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе «динамика» выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдём к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y, время - t, а для параметров движения оставляем буквы a, b, k, w, j. Векторы представляем прямыми жирными символами: r – радиус вектор частицы, v – её скорость, w – ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени. I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах. Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения. Задача 1. Точка движется в плоскости. Её координаты x и y зависят от времени t как (1) (2) где a, b, ω и φ - параметры. Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2a, либо 2b, центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a, второе - на b и раскроем косинус суммы: , ( 3 ) . ( 4 ) Исключим время t из уравнений движения. Сначала рассмотрим два особых случая. При получается эллипса, ориентированный параллельно осям: , а значению соответствует уравнение отрезка прямой . В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим и через x/a и подставим результат в ( 4 ). После несложных преобразований получим уравнение эллипса, ориентация которого определяется величиной φ:
. Роль параметра φ ясна из Рис. 1. Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j, направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ): . Векторы скорости и ускорения получаются последовательным дифференцированием r: , . Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором: . ( 5 ) Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω2r. Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике — двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка. Задача 2 Точка движется по закону с параметрами a, b и k. Случай k=0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y=ab/x.
Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными[1]. Они равны координатам точки в начальный момент времени: , которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости , его абсолютную величину и вектор ускорения
. Тело отталкивает центральная сила mk2r. Задача 3. Точка движется в плоскости : , (6) . ( 7 ) Вычтем квадраты уравнений, делённых на a и b соответственно: . Получилась гипербола, как и на Рис. 2, но оси координат повёрнуты на 45°. Её график приведён на Рис. 3. Дифференцируя (6) и (7) по времени, получим вектор скорости и ускорения . Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F=mk2r. Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.
Задача 4. Заряженная частица совершает пространственное движение в однородном и постоянном магнитном поле: с постоянными параметрами R, vz, w. Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию с шагом . Винтовая линия изображена на Рис. 4. Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости и квадрата его модуля , а также аналогичных величин для ускорения .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (250)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |