II. Движение в полярных координатах.
Задача 5. Точка A движется в плоскости (x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t).
Определить скорость и ускорение точки.
Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством eζ и eη “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы eζ и eη со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов iи j. Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат: . Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для : . Радиус-вектор, по построению, коллинеарен eζ:: . При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта : . ( 8 ) Проекция называется азимутальной, а проекция - трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения: . (9) Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле и имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое - кориолисово ускорение. Задача 6. Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид: , (10) Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу (11) Перепишем формулу (9) Задача 5 в виде . ( 12 ) Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ: (13) Вводим новую переменную u=1/r и воспользуемся формулой Бинэ: , (14) где введено обозначение = du/dφ. Для вычисления правой части достаточно знать функцию r(φ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через : . Воспользовавшись определениями и K, перепишем последнее уравнение в форме: , ( 15 ) а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем . ( 16 ) Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для и , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для wξ: . Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила . Задача 7. Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом ε. Зная её скорость v1 в перигелии, определить скорость v2 в афелии. В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте: . Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство . Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату: . Задача 8. Показать, что квадрат скорости планеты равен , где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует . ( 17 ) Вычислив по формуле ( 15 ) Задача 6, получаем . Здесь также учтено .Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin2 φ через r: . Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения , приходим к искомому результату. Задача 9. Частица движется к притягивающему центру по плоской траектории , ( 18 ) где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v0. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения. Из начальных условий определим значение константы K=2av0. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6. Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для и : откуда . Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin2φ через a и r : . Окончательно . Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ): Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для , после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения: . Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ): . Задача 10. Точка движется в плоскости по закону с параметрами r0 и a. Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения. Исключив время t,получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль
. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости: . Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени: . Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна: . Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение . Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (233)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |