Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.

Решением уравнения с неизвестным х называют число х_о, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Отличительная особенность тригонометрических уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством тригонометрических функций – периодичностью. Решить уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Решение любого уравнения: сводится к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax² + вx + c =0.

Необходимость классификации уравнений вызывается невоз­можностью найти общий метод их решения. Известно, что целые алгебраические уравнения со времен Декарта (1596-1650) клас­сифицируются по степени уравнения. Чем выше степень таких уравнений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффи­циентами уравнения и тем труднее выразить это неизвестное че­рез коэффициенты.

В тригонометрии предпринимались попытки создавать свою спе­цифическую классификацию. Пример такой классификации, со­держащей восемь типов тригонометрических уравнений, приво­дится в пособии И.К. Андронова, А.К. Окунева «Курс тригоно­метрии». Классифицировать тригонометрические уравнения по степени не имеет большого смысла, так как тригонометрические уравнения допускают повышение и понижение степени за счет использования формул половинного и двойного аргумента. Оче­видно, что классифицировать тригонометрические уравнения имеет смысл с опорой на методы их решения. Здесь я попытаюсь показать, с какими методами решения тригонометрических уравнений мы сталкиваемся в учебнике для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова (2001 г.).

Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно на­чинать с простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение f ( x ) = а, где а – данное число, а f ( x ) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения:                      sin t = a , cos t = a , tg t = a , ctg t = a .

Рассмотрим, при каких значениях а простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений.

А) Уравнение sin t = a .

Так как множество значений функции у = sinx – отрезок [– 1; 1], то уравнение sin t = a разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1. И тогда решение данного уравнения находится по формуле: t = (– 1) ⁿ arcsin a + π n , где n Î Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения                       sin t =  часто, не обращая внимания на то, что  > 1, пишут ответ:                                             t = (– 1) ⁿ arcsin + π n , где n Î Z , который не имеет никакого смысла, т. к. функция                    arcsin a не определена в точке а =  (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a).

Если а = – 1; 0; 1, то рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1 х =

   а = 0 х = π n , где n Î Z ;

   а = 1 х =

Б) Уравнение cos t = a .

Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1. Если это условие выполнено, то все решения уравнения cos t = a записываются в виде: t = ± arccos а + 2π n , где n Î Z . Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней.

Если а = – 1; 0; 1, то также рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1 х =

   а = 0 х =

   а = 1 х =

В) Уравнение tg t = a .

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ ; µ ). Все решения уравнения задаются формулой t = arctg а + π n , где n Î Z . Частные случаи здесь не рассматривают.

Г) Уравнение с tg t = a .

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ ; µ ). Все решения уравнения задаются формулой t = ar с ctg а + π n , где n Î Z . Частные случаи здесь также не рассматривают.

Ряд уравнений путём элементарных преобразований: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим.

При решении простейших тригонометрических уравнений вида А sin (вх + с) = d , А cos (вх + с) = d , А tg (вх + с) = d , А ctg (вх + с) = d следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin (вх + с) = а, cos (вх + с) = а, tg (вх + с) = а, ctg (вх + с) = а.

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение.

К таким уравнениям относятся уравнения:

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения с применением выше указанных формул.

№ 136(б).

с os x = – ,

х = ± arccos (– ) + 2π n , n Î Z ,

х = ±

Ответ: х = ±

№ 139(б).

2 sin x +  = 0,

2 sin x = – ,

sin x = – ,

х = (– 1)ⁿarcsin (– ) + π n, n Î Z,

х = (– 1) ^{n + 1}  + π n , n Î Z .

Ответ: х = (– 1) ^{n + 1}  + π n , n Î Z .

№ 144(г).

ctg (– ) = 1,

– ctg  = 1,

ctg  = – 1,

 = ar с ctg (– 1) + π n , n Î Z ,

 =  + π n , n Î Z ,

х =  + 2π n , n Î Z .

Ответ: х =  + 2π n , n Î Z .

№ 145(в).

 tg ( ) = 3,

tg ( ) = ,

 = arctg  + π n, n Î Z,

 =  + π n , n Î Z ,

 = π n , n Î Z ,

х = 3π n , n Î Z .

Ответ: х = 3π n , n Î Z .

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова. В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул:                                   cos ² х = 1 – sin ² х, sin ² х = 1 – cos ² х,  

Уравнения вида sin ах ± sin вх = 0, cos ах ± cos вх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.

Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной.

Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а × sin х + в × с os x = 0, а × sin ² х + в × sin х × с os x + с × с os ² x = 0