Специфика выпускного экзамена за курс средней полной школы

Письменный экзамен по алгебре и началам анализа является обязательным для всех выпускников. Он проходит в форме контрольной работы, содержащей 10 заданий. Экзаменационная работа по курсу «Алгебра и начала анализа» проводится по «Сборнику заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы» (Авторы: Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А.) и состоит из трёх частей.

Первая часть экзамена (задания 1 – 5) включает пять заданий, которые помещены в разделе 1. Всего в сборнике 96 таких выборов. Уровень сложности этих заданий определяется «Требованиями к математической подготовке учащихся», предусмотренными программой.

Вторую часть экзамена составляют задания, помещённые в разделах 4 (задания 6, 7) и 5 (задание 8) сборника. Это традиционные задания, предлагаемые на экзамене.

Третья часть экзамена (задания 9, 10) состоит из заданий, подобных тем, которые используются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Они находятся в разделе 6 сборника. Решение этих задач не требует ни дополнительных навыков, ни дополнительных идей по сравнению с задачами, обычно предлагающимися в школьных учебниках.   

Тригонометрические уравнения на выпускном экзамене

Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения

Анализируя задания, предлагаемые на экзамене, я заметила, что тригонометрические уравнения предлагаются в 74 из 96 наборов первой части. Они указаны в №3.

По типу это уравнения различные: приводятся к простейшим, решаются разложением на множители, неполные квадратные тригонометрические уравнения. Много уравнений таких, где необходимо применить формулы приведения. Но и предлагаются такие уравнения, когда нужно не просто их решить, а изо всех корней отобрать те, которые принадлежат указанному промежутку. Кстати, таких уравнений в школьном курсе нет.

Приведу пример решения такого упражнения.

Вариант 7, №3.

Найдите все решения уравнения ( sin x + cos x )² = 1 + sin x cos x , принадлежащие отрезку [0; 2π].

Используем формулу сокращённого умножения.

sin² x + 2sin x cos x + cos² x = 1 + sin x cos x,

1 + 2sin x cos x – 1 – sin x cos x = 0,

sin x cos x = 0,

sin x = 0        или       cos x = 0,

х _n = πn , n Î Z                   x_k =

Теперь произведём отбор корней, принадлежащих указанному промежутку. существует несколько способов.

I способ (непосредственная подстановка целых значений в общую формулу корней):

1) х _n = πn , n Î Z                 

n = 0, х = 0 Î [0; 2π];

n = 1, х = π Î [0; 2π];

n = 2, х = 2 π Î [0; 2π];

n = 3, х = 3 π Ï [0; 2π];

n = – 1, х = – π Ï [0; 2π].

 2) x_k =

k = 0, х = Î [0; 2π];

k = 1, х = Î [0; 2π];

k = 2, х = Ï [0; 2π];

k = – 1, х = – Ï [0; 2π].

Ответ: 0; ; π ; ; 2 π .