Классификация систем по сложности

Введение

 

Довольно часто в научной литературе используются такие понятия, как “системный подход”, “теория систем”, “системный анализ”, “принцип системности” и др. При этом их не всегда различают и часто применяют как синонимы. Наиболее общим понятием, которое обозначает все возможные проявления систем, является “ системность”. Причем в этом термине заключается два смысла. Первый составляет отождествление системности с объективным, независимым от человека свойством действительности. Такое понимание делает ее онтологическим, объективно-диалектическим свойством всего сущего. Другой под системностью подразумевает накопленные людьми представления о самом свойстве, т.е. она представляет собой гносеологическое явление, некоторые знания о системах различной природы. Гносеологическая системность - довольно сложное и многообразное явление, проявляющаяся в трех аспектах:

1. В системном подходе как принципе познавательной и практической деятельности людей. Термин “подход” означает совокупность приемов, способов воздействия на кого-нибудь, в изучении чего-нибудь, ведении дела и т.д. В этом смысле подход - скорее не детальный алгоритм действия человека, а множество некоторых обобщенных правил. Это лишь подступ к делу, но не модель самого дела. Поэтому системный подход можно рассматривать как принцип деятельности. Назначение системного подхода заключается в том, что он направляет человека на системное видение действительности. Он заставляет рассматривать мир с системных позиций, точнее - с позиций его системного устройства. Системный подход состоит в том, что любой более или менее сложный объект рассматривается в качестве относительно самостоятельной системы со своими особенностями функционирования и развития.

В теории систем, или научном знании о системах, которое характеризуется своими гносеологическими возможностями. Теория систем объясняет происхождение, устройство, функционирование и развитие систем различной природы. Это - не просто мировоззрение, а строгое научное знание о мире систем

2. В системном методе и его разрешающих способностях. Системный метод выступает как некоторая интегральная совокупность относительно простых методов и приемов познания, а также преобразования действительности.

Системы и задачи их анализа

Свойства систем

 

Теория систем изучает общие проблемы связи целого и его частей. В более узком понимании это вопросы, связанные с решением следующих проблем:

· определение содержания проблем;

· назначение и (или) определение целей при принятии решений;

· поиск путей решения проблем;

· проектирование и (или) построение систем для достижения целей и т.д.

Так что же понимается под термином «система»? Достаточно устоявшейся является мысль, что «система» («S») обладает минимум четырьмя свойствами:

1) Целостность и членимость

Целостность означает, что система воспринимается окружающей средой как единый элемент этой среды. Членимость означает, что в системе можно выделить некоторые элементы, совокупность которых вместе с их взаимодействием и образует систему. При этом совокупность элементов обладает качественно новыми свойствами, которые позволяют рассматривать их как элемент более сложной системы. Новое качество, эмерджентностъ – это то, что определяет «лицо» системы, идентифицирует ее целостность, и поэтому оно первично для системы.

2) Интегративные качества

Свойства, обеспечивающие целостность, которые есть у системы, но нет у элементов, составляющих систему, называются интегративным качеством (ИК), они определяют эмерджентностъ. Существенно, что ИК не может быть выявлено сколь угодно глубоким изучением свойств элементов. Например, команда (бригада) может выполнить задачи, которые члены команды (бригады) по отдельности выполнить не в состоянии3) Связи (отношения)

Система, как правило, взаимодействует с другими системами (F_i, i=1,2,…), которые для нее являются внешней средой, связь осуществляется между некоторыми (или всеми) элементами, принадлежащими данной системе, и элементами других систем (см. рис. 1.1). Другие системы – это внешняя среда для системы S. Если взаимодействие системы S с внешней средой не рассматривается (в теоретических исследованиях, например), тогда система называется закрытой или автономной. Множество переменных (координат), через которые система S взаимодействует с внешней средой, часто разделяют на подмножества входных X={x_i, i=1,2…} и выходных Y={y_j; j=1,2…} координат системы. В реальном мире один и тот же элемент может входить в разные системы. Взаимодействие систем носит разноплановый характер, поэтому существенным вопросом является определение границ системы и выделение переменных Х,Y. Причем значение имеют, только связи, определяющие интегративное качество, т.е. «имидж» системы.

Связь подсистем количественно задается множеством характеристик связей В={b_i, i=1,2,…}, к числу которых относится физическое наполнение (энергетическая, информационная, вещественная, механическая связь и т.д.), а также мощностью, направленностью и т.д.

 

 

Рис. 1.1 – Графическое представление системы и среды

Формально связь может быть представлена отображением b:Х® при условии, что метрики множеств Х и  связаны функцией f(b):

 

.

Метрика (мера, расстояние)– это способ измерения расстояния между элементами множеств а,b,сÎХ.

Метрика должна удовлетворять некоторым определяющим свойствам:

а) r ≥ 0 при любых а,b,c;

б) r(a,b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b (аксиома идентичности);

в) r(a,b) = r(b,a) (аксиома симметричности);

г) r(a,b) £ r(а,с) + r(с,b) (аксиома треугольника).

Пара (Х,r_Х) называется метрическим пространством.

Примеры метрик:

 

а) r(а,b) = |a - b|;

б) r₂(a,b) =  -

 

евклидова метрика в евклидовом пространстве Rⁿ,

 

в) r_¥(а,b) = - чебышевская метрика;

г) r_К(a,b) =  - метрика Гельдера, К – целое.

В общем случае – отношения бывают: унарные (самого с собой); бинарные (между двумя элементами); тернарные (между тремя элементами); вообще, - n-арные.

4) Организация

Введем в рассмотрение понятие «состояние» элемента или системы. Количество состояний (мощность множества состояний) может быть конечно, счетно (количество состояний измеряется дискретно, но их число бесконечно); мощности континуум (состояния изменяются непрерывно и число их бесконечно и несчетно).

Состояния можно описать через переменные состояния. Если переменные – дискретные, то количество состояний может быть либо конечным, либо счетным. Если переменные – аналоговые (непрерывные), тогда - мощности континуум.

Минимальное количество переменных, через которые может быть задано состояние, называется фазовым пространством. Изменение состояния системы отображается в фазовом пространстве фазовой траекторией.

Уравнение состояния системы:

 

Y = F(X, Z), (1.1)

 

где Z – переменные состояния (вектор аналоговых или дискретных величин),

Х – входные переменные, Y – выходные переменные системы.

Одной из наиболее часто используемых характеристик организации является энтропия (поворот, превращение – греч.).

Энтропия систем

Степень организации элементов в системе связывается с изменением (снижением) энтропии системы по сравнению с суммарной энтропией элементов. Понятие энтропии введено Больцманом для термодинамических систем:

 

 (1.2)

 

где - вероятность j-го состояния (в теории информации – события); m - возможное число состояний (событий).

Например, два элемента А и В могут каждый принимать два равновероятных состояния: «0»и «1». Вероятность каждого состояния:

Р₁(А) = Р₂(А) = Р₁(В) = Р₂(В) = 0,5.

Для одного элемента энтропия составит

Н(А) = Н(В) = -0,5 log₂0,5 - 0,5log₂0,5 = 1.

Энтропия двух элементов:

Н(А) + Н(В) = 1 + 1 = 2.

¨ Допустим, что система S элементов А и В может принимать три состояния: «-1», «0», «1» с вероятностями Р₁(S) = Р₃(S) = 0,2; Р₂ = 0,6.

Тогда

Н(S) = -2^.0,2^.log₂0,2 - 0,6^.log₂0,6 = -0,4×(-2,32) - 0,6×(-0,737) = 1,37.

Энтропия системы S меньше суммы энтропий элементов А и В на

DН = Н(А) + Н(В) - Н(S) = 2 - 1,37 = 0,63.

¨ Для расчета изменения энтропии системы через вероятности состояний очень часто используется метод Колмогорова. Допустим, дана структурная схема (граф) состояний подсистемы S. Исходным состоянием системы с равной степенью вероятности может быть одно из четырех состояний, т.е. . Будем считать, что интенсивности переходов l₂₁, l₃₂, l₄₃, l₁₄, l₂₄ заданы. Тогда можно показать, что скорости изменения вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяются как

, (1.3)

 

где ; n – число узлов графа (количество состояний);

m_j - интенсивности переходов по дугам, входящим в i-й узел;

r_i – число дуг, входящих в i-й узел;

l_k  - интенсивности переходов по дугам, исходящим из i-го узла;

m_i – число дуг, выходящих из i-го узла;

P_i и P_j – вероятности нахождения системы в i-м и j-м состояниях соответственно.

Заметим, что

.

Установившееся значение вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяется из условия

.

Тогда для системы с n состояниями имеем систему из (n + 1) уравнений с n неизвестными:

 

; .  (1.4)

Одно из уравнений (1.4) можно отбросить, так как оно может быть получено из (n - 1) оставшихся.

Пример. Примем l₂₁ = 0,1, l₃₂ = 0,2, l₄₃ = 0,3, l₁₄ = 0,4, l₂₄ = 0,5. Тогда получаем:

l₁₄^.Р₄ - l₂₁^.Р₁ = 0

l₂₁^.Р₁ + l₂₄^.Р₄ - l₃₂^.Р₂ = 0

l₃₂^.Р₂ - l₄₃^.Р₃ = 0

l₄₃^.Р₃ – (l₁₄ + l₂₄)^.Р₄ = 0

Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ = 1.

Из системы отбросим второе уравнение и получим:

- 0,1^.Р₁ + 0^.Р₂ + 0^.Р₃ + 0^.Р₄ = 0

0^.Р₁ + 0,2^.Р₂ – 0,3^.Р₃ + 0^.Р₄ = 0

0^.Р₁ + 0^.Р₂ + 0,3^.Р₃ – 0,9^.Р₄ = 0

1^.Р₁ + 1^.Р₂ + 1^.Р₃ + 1^.Р₄ = 1.

 Решение полученной системы: Р₁ = 0,32, Р₂ = 0,36, Р₃ = 0,24, Р₄ = 0,08.

Расчет энтропий ведется по формуле

 

.

 

Для исходного состояния

Э₀ = -4 ^. 0,25 ^. log₂0,25 = 2,

Для конечного состояния

Э_к = - (0,32 ^. log₂0,32 + 0,36 ^. log₂0,36 + 0,24 ^. log₂0,24 + 0,08 ^. log₂0,08) = 1,835.

То есть, изменение энтропии составляет

DЭ = Э₀ – Э_к = 2 – 1,835 = 0,165.

Существуют два основных подхода к расчету энтропий систем и ценности информации.

Первый подход основан на декомпозиции исходной задачи на этапы вычисления вероятностей апостериорной и априорной вероятности элементарных событий.

Методика расчета включает:

· декомпозицию исходной задачи на последовательность таких элементарных событий, априорная вероятность которых известна, а апостериорная может быть легко рассчитана;

· расчет энтропий (или ценности информации) каждого элементарного события;

· вычисление изменения энтропии исходного состояния по отношению к конечному (или ценности информации) путем суммирования изменений энтропий элементарных этапов (переходов, событий).

Данный подход позволяет избежать вычисление вероятности сложных событий.

Второй подход основывается на использовании условных вероятностей событий. Последние иногда рассчитать довольно сложно.

Таким образом, энтропия выступает в качестве меры хаоса, беспорядка и ее снижение означает увеличение организации.

Для информационных систем степень организации очень часто зависит от количества информации, которая может быть использована для управления.

 

Количество информации

В теории информации количество информации часто измеряют в битах (binary digital), где бит, определяется как ценность I информации об исходе двух равновероятных событий. Например, эта информация о том, что сейчас день, а не ночь.

Вероятность каждого из событий

Р(Д) = 0,5; Р(Н) = 0,5;

I = log₂ , (1.5)

 

где Р₁(х) – апостериорная вероятность; Р₂(х) – априорная вероятность.

Для примера:

Кроме битов (термин ввел Тьюки) используются

 

«нат» и

«дит» .

Классификация систем

 

Существует достаточно большое число классификационных признаков (свойств) систем, в частности:

· открытость – замкнутость (отсутствие связи с внешней средой);

· детерминированность (определенность) – стохастичность (случайность);

· простота – сложность;

· наличие цели – отсутствие цели;

· субстанциональные признаки (по этим признакам выделяют: естественные, концептуальные, искусственные системы);

· наличие направленности связей и характер связей: не направленные, обратные, линейные, нелинейные;

· наличие или отсутствие иерархии элементов в системе;

· эволюционирующие – не эволюционирующие (жесткие, не адаптируемые) системы;

· непрерывные – дискретные;

· по физическому наполнению: вещественные, энергетические, информационные и т.д.;

· по мощности связей: коэффициенты связи, интенсивности, чувствительности, коэффициенты корреляции и т.д.;

· по роли связи: ограничивающая, координирующая, положительная, отрицательная.

Для характеристики свойств систем выделяют факторы:

· системосоздающие;

· системоразрущающие;

· системозначимые (свойства, характеризующие интегративное качество, в том числе вне системы);

· системоопределяющие (свойства определяют интегративное качество системы) и др.

По признаку «сложность» выделяются два типа систем (простые - сложные). Существует несколько аспектов, по которым система может классифицироваться как простая или сложная. Достаточно общее с практической точки зрения определение сложной системы: это такая система, анализ и прогноз изменения состояния которой невозможен с заданной точностью и заданным временем.

Для искусственных систем, к которым относится подавляющее большинство систем, создаваемых человеком, выделяют три основных уровня формулирования цели:

1) цель не очень ясна (целенаправленные системы);

2) цель ясна и намечены пути ее достижения (целеустремленные системы);

 3) цель определена и формализована на уровне математической постановки, есть алгоритм достижения цели (алгоритмические системы).

Реальные постановки проблем могут представлять собой промежуточные варианты перечисленных случаев.

Классификация систем по сложности