Некоторые особенности уравнений Навье - Стокса и их решений

Уравнения Навье - Стокса обладают целым рядом специфических особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы их записи. Одной из существенных особенностей является пространно-эллиптический характер уравнений, обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения. В связи с этим для решения уравнений Навье - Стокса необходимо использовать типичные для эллиптических уравнений методы решения. В отличии от уравнений пограничного слоя, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области, которая в реальных условиях часто бывает бесконечна, но при численной реализации должна быть конечной. Это приводит в ряде задач внешнего обтекания к так называемой "проблеме замыкания", что требует разработки приближенных асимптотических решений.

В системе уравнений Навье - Стокса имеется малый параметр при старшей производной Е=1/Re, изменению которого соответствует существенное изменение гладкости решения. Это связано с появлением у стенок при росте числа Re пограничного слоя, толщина которого обычно пропорциональна величине (Re) ^-0,5. Хорошую иллюстрацию этих эффектов (и соответственно вычислительных трудностей) дает линейное одномерное модельное уравнение переноса с диссипацией.

Наконец, система уравнений Навье - Стокса нелинейна. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического типа, обусловлена в случае несжимаемой жидкости инерционными составляющими в уравнениях количества движения. В сочетании с двумя упоминавшимися выше особенностями нелинейность уравнений Навье - Стокса приводит при достаточно больших числах Рейнольдса к образованию весьма сложных пространственно временных структур.

В большинстве случаев для каждого типа сечения и некотором диапазоне чисел Рейнольдса существует единственное устойчивое стационарное решение уравнений Навье - Стокса, для получения которого можно использовать либо стационарные уравнения, либо нестационарные, рассматривая искомое решение как предел при времени стремящимся к бесконечности (метод установления). При увеличении числа Рейнольдса стационарное решение перестает быть единственным и начинает зависеть от начальных данных. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса реализуются только нестационарные решения. Решение при этом имеет не только нерегулярный характер во времени, но и существенно усложняется его пространственная структура, в частности, теряет устойчивость и дробится пограничный слой, в ядре появляются вторичные решения и т.д. Для описания режимов такого типа стационарные уравнения Навье - Стокса недостаточны.

В экспериментах при больших числах Рейнольдса наблюдается неупорядоченное, хаотическое движение жидкости, называемое турбулентным движением, для которого представляет интерес описание средних пространственно-временных характеристик. Переход из ламинарного режима течения в турбулентный в круглой трубе происходит при числе Рейнольдса приблизительно равным 2*10^3. В технических приложениях и явлениях природы значения чисел Рейнольдса достигают значительно больших величин 10^6 - 10^9, поэтому турбулентные режимы имеют широкое распространение. Информация об этих режимах, по-видимому, содержится в нестационарных уравнениях Навье - Стокса. До недавнего времени численные исследования при больших числах Рейнольдса были связаны лишь с изучением поведения бесконечно малых возмущений на основе линеаризированных гидродинамических уравнений. В последнее время для отдельных классов течений делаются попытки прямого численного моделирования переходных и турбулентных режимов на основе нестационарных уравнений Навье - Стокса.

Из сказанного следует, что требования к вычислительным методам для решения уравнений Навье - Стокса должны различаться в зависимости от рассматриваемого диапазона чисел Рейнольдса и тех целей, которые ставятся при численном моделировании.

Общие требования к вычислительным методам можно сформулировать следующим образом:

1) Вычислительная устойчивость;

2) Точность расчета основных характеристик, приемлемая для соответствующих приложений;

3) Экономичность, минимальный объем оперативной памяти, простота реализации.

Первое требование заключается в том, чтобы весь вычислительный процесс был устойчив. Оно относится как к самой разностной схеме, так и к методу решения соответствующих алгебраических уравнений. Для разностных схем, аппроксимирующих уравнения Навье - Стокса, причин неустойчивости больше, чем для простых модельных уравнений, причем в ряде случаев явления вычислительной неустойчивости трудно отличить от возможного сложного поведения решений.

Второе требование означает необходимость высокой пространственно-временной разрешимости, которой можно в принципе достигнуть, либо применяя схемы не слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно повышая порядок точности схем. Для уравнений Навье - Стокса особенно важным является посторенние разностных схем, аппроксимирующих общие нестационарные уравнения (и позволяющих в частном случае определить стационарные решения, если такие существуют). При этом практика показывает, что для расчета весьма широкого класса течений достаточного использования схем первого порядка точности по времени. В отличие от течений невязкой жидкости, при этом характерны более высокие требования к пространственной аппроксимации решения (пограничные слои, основные и вторичные течения и т.д.). Наиболее удобными являются разностные схемы второго порядка точности по пространственной координате на неравномерной сетке, сгущающейся в зоне больших градиентов.

Третье требование на самом деле может состоять из двух или даже трех требований: минимального числа операций на временном слое, минимального объема оперативной памяти ЭВМ и минимальных затрат труда программиста на реализацию программы.

Перечисленные требования в известной мере условны, так как значение каждого из них зависит от ряда дополнительных факторов, таких, например, как режим течения по числу Рейнольдса, тип ЭВМ, квалификация исполнителя, ограничения на время для получения результата, серийность расчетов и т.д. Эти требования, кроме того, противоречивы, так как одновременное их выполнение практически невозможно, что требует компромиссных решений.

С помощью метода конечных разностей исследования ведутся широким фронтом, и накопленный опыт позволяет увидеть их достоинства и недостатки. Достоинствами являются универсальность, экономичность, сравнительная простота реализации. Недостатками являются не слишком высокая точность (а также трудности построения и реализации схем высокой точности и оценки точности), трудности при аппроксимации областей с границами сложной формы. Поэтому ведутся поиски других методов. В этой подглаве будут упомянуты некоторые основные подходы, разделенные на три группы.

К первой группе относятся попытки применения прямых методов. Наиболее разработаны к настоящему времени для уравнений Навье - Стокса методы Галеркина и некоторые их модификации. Эти методы обладают многими преимуществами, к числу которых относятся точность, возможность сокращения объема информации и экономичность. Однако сходимость этих методов в значительной степени зависит от выбора пробных функций, поэтому успешная реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев, например в задачах конвекции при наличии свободных и периодических границ, где известно аналитическое решение линейной задачи.

Ко второй группе следует отнести методы более общего характера, связанные с представлением решения в виде рядов или интерполяционных многочленов. Применительно к численному моделированию задач гидродинамической устойчивости важное значение имеют так называемые алгоритмы "без насыщения".

К третей группе относится метод конечных элементов, имеющий много общих свойств с методом сеток, но отличающийся специальным выбором аппроксимации с учетом тех или иных вариационных принципов. Современные варианты метода конечных элементов в применении к уравнениям Навье - Стокса позволяют расширить класс геометрических объектов, но в настоящее время существенно проигрывают в экономичности расчета. Стремление к использованию лучших свойств из конечно-разностных и упоминавшихся здесь методов, приспособленных к проведению параллельных вычислений на многопроцессорных ЭВМ, приводит в последние время к появления новых методов решения уравнений Навье - Стокса, детальная практическая проверка которых, однако, является делом будущего. Более подробное обсуждение различных направлений развития численных методов для уравнений Навье - Стокса выходит за рамки данного обзора.