Уравнения Навье - Стокса в переменных функция тока, вихрь скорости
Следуя [10], преобразуем систему уравнений 1.4 - 1.6 к виду, удобному для численного решения. Для этого введем переменные величины функцию тока и вихрь :
, (3.1)
а также безразмерные величины:
, (3.2)
где - характерная скорость и характерная длина. После несложных преобразований [10] получаем следующую безразмерную систему уравнений (штрихи у безразмерных величин опущены для удобства записи):
(3.3) . (3.4)
В эти уравнения как неизвестные величины входят функция тока и вихрь , зависящие от координат r и z. Турбулентное число Рейнольдса Re находится по полуэмпирическому соотношению, приведенному в [10]. Приближенное решение уравнений Навье – Стокса
Численные методы решения системы уравнений (3.3) - (3.4) приведены в [21]. Однако их практическая реализация вызывает определенные трудности по причине отсутствия граничных условий для функции на твердых поверхностях. В данной работе приведено приближенное решение задачи, в котором использован метод, обычно называемый методом последовательных приближений. Выбирая “нулевое” приближение , находим из (3.4)
(3.5)
из (3.3) получаем уравнение для нахождения более точного приближения:
(3.6)
Интегрирование производим в области, заимствованной из работы [10] и показанной на рисунке 3.1 Решение, приведенное в этой работе, условно принимаем за точное решение.
Рисунок 3.1 - Область интегрирования
В качестве “нулевого" приближения выбираем функцию
, (3.7)
где С - безразмерный коэффициент. Приводя ее к безразмерному виду, получаем
. (3.8)
На рисунке 3.2 показаны линии уровня для начального приближения функции тока.
Рисунок 3.2 - Линии уровня
В этой формуле штрихи у безразмерных величин и индекс “ж” для удобства записи опущены. Легко видеть, что , если , т.е. на большей части границы области.Подставляя (3.8) в (3.5), находим
, (3.9)
причем , если , т.е. на оси симметрии и на свободной поверхности жидкости, что соответствует [10]. На рисунке 3.3показаны линии уровня для начального приближения вихря скорости.
Рисунок 3.3 - Линии уровня
Подставляя (3.9) в (3.6) находим:
(3.10)
Для удобства записи перепишем уравнение (3.10) в форме:
, (3.11)
где A (r,z), B (r,z), C (r,z) - известные функции; Re турбулентный аналог числа Рейнольдса. Заменим исходную функцию сеточной функцией [22, 23]:
, i=0. N-1; J=0. M-1; ; .
Заменим производные разностными отношениями:
; (3.12) . (3.13)
Подставляя (3.12), (3.13) в (3.11) получаем:
. (3.14)
Выражая из (3.14) получим:
. (3.15)
Учитывая, что на границе области функция тока равна нулю получаем начальные условия, которые необходимы для решения (3.15):
; (3.16) . (3.17)
Данная схема имеет первый порядок аппроксимаций по координатам r,z и устойчива при 1.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (229)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |