Исследование элементарных функций .

Основные простейшие элементарные функции:

· Линейная функция y=kx+b;

· Степенная функция y=xⁿ;

· Квадратичная функция;

· Показательная функция  (0 <a 1);

· Логарифмическая функция x (0 < a 1);

· Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x;

· Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

 

Линейная функция.

y = kx + b

1. Областью определения линейной функции служит множество R всех    действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x

2. Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

5. Асимптоты графика функции не существуют.

6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.

7. Функция не является ограниченной.

8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox. 

9. Точек перегиба не существует.

10.   Не существует экстремальных точек.

 

 

                                                                                               

 

     y=kx+b (k<0)                                                                y=kx+b (k>0)

 

Степенная функция.

Степенная функция с натуральным показателем y=xⁿ,

где n-натуральное число.

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений: E(f)= (0;+∞);

3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

4. Нули функции: y=0 при x=0;

5. Функция убывает при x (-∞;0];

6. Функция возрастает при x [0;+ ∞);

7.

a) нет вертикальных асимптот

    b) нет наклонных асимптот

     

8. Если n-четное, то экстремум функции x=0

  Если n-нечетное, то экстремумов функции нет     

 

 

9. Если n-четное, то точек перегиба нет

   Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

10. График функции:

 

 

a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;

b)Если п = 3, то функция задана фор­мулой у = х³. Ее гра­фиком является куби­ческая   парабола;

c)Если п — нечетное натуральное число, причем п  1, то функция обладает    свойствами теми же, что и у = х³.

 

[1]

n – четное

n - нечетное

                             [2]                

                                                     

                     

                                     

                                                                                        

Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п 1):

 

1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений [0,+∞];

3.  Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);

4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).

6.  График функции: [1]

 

Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :

 

1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений: E(f)= R;

3.  Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);

4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция возрастает на всей области определе­ния.

6.  График функции: [2]