Построение аналитической модели и ее анализ.

Задание                                                                                                                  3

Построение аналитической модели и ее анализ.

2.1  Построение аналитической модели                                       4

2.2 Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели                      11

2.3.  Моделирование с использованием солверов                    18

2.4. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox                                                                                       21

2.5. Моделирование с использованием имитационного пакета моделирования динамических систем Simulink                                   25

 

 

Задание

 

Построить аналитическую модель электрической цепи и выполнить анализ динамического процесса после замыкания ключа К.

Схема электрической цепи и параметры составляющих ее компонент:

R1,Ом	R2 ,Ом	R3,Ом	R4,Ом	C1,Ф	L,Гн	В
4	4	4	6	1/25	1/7	30

 

                                        Рис. 1. Электрическая RLC - цепь

 

Построение аналитической модели и ее анализ.

2.1 Построение аналитической модели

 

  Решение задачи идентификации с последующим анализом динамических процессов в физической системе на основе модели предполагает построение системы дифференциальных или алгебраических уравнений. При решении многомерных задач с помощью ЭВМ наиболее используемыми прикладными программами являются пакеты программ, позволяющие анализировать системы на основе матричной записи дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши или метод переменных состояния или метод пространства состояний). Прежде чем выполнять анализ динамических процессов в системе, необходимо записать систему дифференциальных уравнений в форме Коши, наиболее удобной при использовании ЭВМ.

  Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный способ, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками э.д.с. и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяют на источники тока, которые возбуждают ток в том же направлении, что и в исходной схеме, а конденсатор на источник э.д.с. с э.д.с. направленной встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно u_c . В результате схема окажется без реактивных элементов (резистивной), но с дополнительными источниками тока и э.д.с.

В полученной резистивной схеме один из узлов заземляют и составляют уравнения по методу узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов рассчитывают напряжения на источниках тока, эквивалентных индуктивным элементам и токи через источники э.д.с., эквивалентные емкостным элементам. Далее разрешают уравнения цепи относительно производных di_L /dt и du_C /dt и получают запись системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши).

  Для составления уравнений в нормальной форме по полученной резистивной схеме, можно использовать также принцип наложения, справедливый для линейных систем и их линейных уравнений. Суть принципа наложения состоит в том, что контурный ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из э.д.с. в отдельности, и соответственно узловое напряжение между любым узлом и опорным равно сумме узловых напряжений, созданных между этим узлом и опорным каждым в отдельности источником тока.

  Принцип наложения позволяет разложить сложную задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна э.д.с. или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими. При этом эти другие источники э.д.с. должны быть замкнуты накоротко с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений, а все другие источники тока должны быть разомкнуты, но в соответствующих ветвях должны быть сохранены их внутренние проводимости.

Рассмотрим модель электрической цепи (Рис. 1).

Для построения модели выбираем вектор переменных состояния

т. е. x ₁ = u_c ; x ₂ = i_L. Так как u_L = L ( di_L / dt ), то dx ₂ / dt = di_L / dt = u_L / L , а u_c = 1/ C i_c dt , то dx ₁ / dt = du_c / dt = i_c / C .

Уравнения состояния в матричной форме в общем виде для  

приведенной электрической цепи можно записать так:

( 2.1)

Коэффициенты матриц будем определять методом наложения при рассмотрении эквивалентной резистивной схемы (Рис. 2).

                    Рис. 2. Эквивалентная резистивная схема.

 

Запишем систему (2.1) в координатной форме, из которой определим коэффициенты матриц A и B.

                                    Система (2.2)

 

Для определения коэффициентов матрицы A (коэффициенты матрицы A определяются только топологией электрической цепи и параметрами ее компонент) полагаем внешнее воздействие равное нулю, т.е. все процессы в цепи будут протекать за счет энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки. Для

моделирования такого режима необходимо в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u ₁ = E = 0. А для определения коэффициента a ₁₁ матрицы A исключить источник тока x ₂ = i_L = 0. Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:

При условии: E = 0; i_L = 0.

Для измененной схемы определяем i_c = - u_c / ( R ₂ + R ₃ ) и подставляем в выражение для a ₁₁ .В результате получим:

Для определения коэффициента a ₁₂ матрицы A восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x ₁  = u_c = 0. Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:

При условии: E = 0; u_c = 0.

  Для измененной схемы определяем i_c =( R ₂ /( R ₂ + R ₃ )) i_L

 и подставляем в выражение для a ₁₂ .В результате получим:

Для определения коэффициента a ₂₁ матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u ₁ = E = 0 и исключаемисточник тока x ₂ = i_L = 0.

Соответственно из второго уравнения системы получим:

При условии: E = 0; i_L = 0.

Для измененной схемы определяем u_L = i_c R ₂  , для этого находим i_c = - u_c / ( R ₂ + R ₃ ) и подставляем в u_L = i_c R ₂  . Получим: u_L =( - u_c / ( R ₂ + R ₃ )) R ₂ . Тогда

Для определения коэффициента a ₂₂ матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u ₁ = E = 0, восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x ₁  = u_c = 0. Соответственно из второго уравнения системы получим:

Для измененной схемы определяем: u_L = - (R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)) i_L . Тогда a ₂₂ = -(1/ L )( R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)).

Определение коэффициентов матрицы B (коэффициенты матрицы B определяют вклад входных величин в баланс токов и напряжений) предполагает исключение источника тока x ₂ = i_L = 0, замыкание источника э. д. с. x ₁  = u_c = 0 и сохранение источника u ₁ = E . Тогда для определения коэффициента b ₁₁ матрицы B в первом уравнении системы полагаем x ₁  = u_c = 0, x ₂ = i_L = 0. Получим:

но i_c =0 при любом Е, т. к. ветвь с источником тока разомкнута, то b ₁₁ =0.

Для определения коэффициента b ₂₁ матрицы B во втором уравнении системы (4. 2) полагаем x ₁  = u_c = 0, x ₂ = i_L = 0, что предполагает исключение источника тока x ₂ = i_L = 0, замыкание источника э. д. с. x ₁  = u_c = 0 и сохранение источника u ₁ = E . Получим:

Напряжение на участке исключенного источника тока u_L =Е, т. к. тока в разомкнутой цепи нет, то следовательно нет падения напряжения на активных сопротивлениях.

После получения всех коэффициентов матриц A и B можно записать систему (2. 2) для полученных коэффициентов: a ₁₁ = (- 1 / C )(1/ ( R ₂ + R ₃ )); a ₁₂ = (1 / C )( R ₂ / ( R ₂ + R ₃ )); a ₂₁ = - R ₂ / L ( R ₂ + R ₃ ); a ₂₂ = -(1/ L )( R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)); b ₁₁ =0; b ₂₁ = 1/ L .

 

Подставляя в полученную систему численные значения параметров компонент, согласно исходной схеме, получим.

 

В координатной форме полученная система имеет вид

 

Возвращаясь к первоначальным переменным x ₁ = u_c ; x ₂ = i_L , можно записать в общем виде для заданной электрической цепи следующую систему уравнений в форме Коши, которую необходимо решить и выполнить анализ динамического процесса с помощью средств система автоматизации математических расчетов MATLAB и пакета динамических систем Simulink, входящего в состав расширенных версий MATLAB, а также вручную и сравнить полученные результаты, которые должны совпасть.

                                        Система (2.3)