Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели

После получения динамической модели изучаемой системы в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме пространства состояний, необходимо выполнить анализ динамических процессов протекающих в системе. Для выполнения этой задачи следует найти решение системы уравнений, т.е. найти аналитическое выражение – функцию, отражающую закон, согласно которому изменяются переменные состояния во времени. Получив закон, можно определить характер динамических процессов, протекающих в системе.

используем матрично-векторное соотношение

                    x( t )= А^-1 ( exp (А t ) - 1 )f ₀ , (2.4)

имеющее место при нулевых начальных условиях и внешнем воздействии f ₀  в виде вектора с постоянными компонентами.

  Сначала находим А^-1 по известной А (в МatLab).

>> A=[-1.79 7.14;-2 -168];

>> inv(A)

ans = -0.5333 -0.0227

       0.0063 -0.0057

Далее находим матричную экспоненту exp (А t ), составив предварительно характеристическое уравнение системы (2.3) и найдя его корни

>> poly(A)

ans = 1.0000 169.7900 315.0000

Полученный полином будет определяться выражением   

                                 λ² + 169.79λ + 315.

Соответственно, его корни:

>> A=[-1.79 7.14;-2 -168];

>> [D]=eig(A)

D = -1.8760

    -167.9140

Следовательно: λ₁=--1.8760; λ₂ = -167.914

Результат вычислений позволяет сделать вывод о апериодическом характере переходного процесса и устойчивости системы, необходимым и достаточным условием которой является отрицательность корней характеристического уравнения.

  Для вычисления матричной экспоненты используется формула Сильвестра, согласно которой

Для системы (2.4) можно записать экспоненту:

Подставляя все полученные данные в соотношение (2.4) приходим к следующему выражению:

После выполнения действий над матрицами получим следующее решение системы (1):

x₁(t)=-16621/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-1/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-16621/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)+1/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-119/25

x₂(t)=(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)+(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-179/150

Для построения графиков функций x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) выполним команду plot в режиме командной строки. Программы приведены ниже.

>> t=0:0.1:12.54;

>>x=-16621/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-1/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-16621/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)+1/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-119/25;

>> plot(t,x)

Рис 3

>> t=0:0.02:5;

>>x=-(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)+(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-179/150;

>> plot(t,x)

Рис 4

Результат моделирования, отражающий динамический процесс представлен на рис. 3 и рис. 4 (изменения во времени переменных состояния системы x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) носят апериодический характер). На рис. 3 приведена распечатка графика функции

x ₁ ( t )=-16621/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-1/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-16621/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)+1/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-119/25

 при начальном условии x ₁ (0) = 0 (график начинается с ординаты x₁ = 0).

На рис. 4 приведена распечатка графика функции

x₂(t)=(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)+(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-179/150

при начальном условии x ₂ (0) = 0 (график начинается с ординаты x₂ = 0).

Полученные графики демонстрируют апериодический переходный процесс, возникающий в электрической цепи при подключении источника постоянной э.д.с. При этом напряжение на конденсаторе x ₁ = u_c и ток через катушку индуктивности x ₂ = i_L изменяются согласно найденных соотношений:

x₁(t)=-16621/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-1/400*(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)-16621/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)+1/400*(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*275686441^(1/2)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-119/25

и

x₂(t)=(-3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200+1/200*275686441^(1/2))*t)+(3260759/82705932300*275686441^(1/2)+179/300)*exp((-16979/200-1/200*275686441^(1/2))*t)-179/150,

 соответственно.

Как видно из графиков временных зависимостей, процесс асимптотически приближается к установившемуся состоянию с принужденной составляющей x ₁ ( t )= x ₁ =-4.7 и x ₂ ( t )= x ₂ = -1.2.

На этом расчет вручную, с частичным использованием моделирования в режиме командной строки, заканчивается.