Фермы как опоры для высоковольтных линий электропередачи

 

Фермой называется геометрически неизменяемая шарнирно-стержневая конструкция.

Если оси стержневой фермы лежат в одной плоскости, то ее называют плоской. Точки, в которых сходятся оси стержней, называются узлами фермы, а те узлы, которыми ферма опирается на основание, называются опорными узлами.

 

Шарнирное соединение в виде треугольника:

представляет собой геометрически неизменяемую систему, а шарнирное соединение в виде четырехугольника - геометрически неизменяемая система.

Образовать геометрически неизменяемую систему с числом стержней “C” (больше трех), можно так:

К основному треугольнику “abc” последовательно присоединяем узлы, образованные двумя стержнями, оси которых не лежат на одной прямой.

Последовательность образования узлов на рисунке показана цифрами. Это - простейшая ферма. Узлы, образованные на одной прямой, имеют мгновенную изменяемость.

Если “Y” - общее число узлов, то для образования остальных (Y-3) (кроме a, b, c) необходимо по 2 стержня, т.е.: 2 (Y-3).

Общее число стержней (с учетом ab, bc, ca) будет:

 

C = 3 + 2 (Y + 3) = 2Y + 3.

 

Это - необходимое условие для получения фермы. Перенесем эту методику образования плоской фермы для образования пространственной фермы. Геометрически неизменяемые простейшие пространственные фермы могут быть образованы следующим образом.

К исходному треугольнику a-b-c (рисунок ниже) последовательно присоединяют узлы, образованные тремя стержнями, оси которых не лежат в одной плоскости. Это - простейшая пространственная ферма.

По способу образования узлов “Y” установим число стержней “C". Для образования первых трех узлов требуется 3 стержня, для образования остальных (Y-3) узлов требуется 3 (Y-3) стержней. Итого необходимо:

 

[3 (Y - 3) + 3] = (3Y - 6) = C

 

стержней. Условием геометрической неизменяемости свободной (т.е. незакрепленной) пространственной фермы будет:

 

C = 3Y - 6.

 

Для получения неподвижности пространственной фермы необходимы еще 6 стержней, поэтому включая в число стержней и опорные, общее число стержней для геометрически неизменяемой и неподвижной фермы будет равно:

 

C_ф = С + 6 = 3Y.

 

Рассмотренные выше конструкции ферм в стержнях должны испытывать только осевые усилия, вызывающие деформации растяжения или сжатия. Это конструкции, в которых изгиб полностью уничтожен, как неприемлемый вид деформации, при котором значительная часть материала изгибаемой конструкции используется слабо.

Для образования конструкции, испытывающей только осевые усилия, необходимо соблюдение следующих условий:

соединение концов отдельных стержней должно быть шарнирным, допускающим свободное вращение (без трения) каждого стержня относительно центра шарнира; оси стержней должны проходить через центр шарнира;

внешние силы должны быть приложены только в узлах;

стержни должны быть прямолинейны, в противном случае в них возникнут изгибающие моменты. На практике идеальность шарниров достичь невозможно, т.к эти конструкции работают в атмосферной среде, где присутствует дождь, снег, способствующие возникновению ржавчины, трению в шарнирах. Поэтому в реальных конструкциях стержни соединяют наглухо (заклепки, сварка). Это есть причиной появления дополнительных усилий, не направленных вдоль осей стержней. Однако эти дополнительные усилия незначительны, и там, где оно возможно, ими пренебрегают.

Одним из основных этапов в проектировании ферм является определение усилий в стержнях, позволяющих выполнять условие прочности.

Существует несколько способов определения усилий в стержнях.

Способ вырезания узлов.

Графическое решение задачи путем построения диаграммы Максвелла-Кремоны.

Способом сечений.

Самым простым и распространенным есть способ вырезания узлов, который будет рассмотрен ниже. В процессе определения усилий может оказаться, что в отдельных стержнях загруженной фермы усилия равны нулю. Такие стержни называются нулевыми.

Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни, не производя ее расчета. Рассмотрим пространственную ферму как опору высоковольтной линии электропередачи

Лемма 1.

Если в ненагруженном узле фермы сходятся три стержня, не лежащих в одной плоскости, то усилия в каждом из этих стержней равны нулю.

Sx = 0     S1 = 0 Sy = 0     S2 = 0 Sz = 0     S3 = 0

Лемма 2.

Если в ненагруженном узле фермы линия действия внешней силы совпадает с осью одного стержня, то усилие в этом стержне равно по модулю внешней силе.

 

Лемма 3.

Если в некотором узле фермы все внешние силы и все стержни, кроме одного, лежат в одной плоскости, то усилие в стержне, не лежащем в этой плоскости, равно нулю.

 

При S₃ = 0; усилия S₄, F и S₁₀ лежат в одной плоскости, кроме S₁₁. Следовательно:

S₁₁ = 0.

Рассмотрим определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов. Сущность этого способа состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним внешние силы и реакции стержней S_i и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к рассматриваемому узлу. Вначале предполагается, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней S_i направляют от узлов. Если в результате вычислений получают ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат. Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов определяется, обычно, условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил. Для пространственной фермы - три уравнения равновесия, а, следовательно, необходимо выбирать расчетные узлы из условия, чтобы в них было не более трех неизвестных.

Определим усилия в стержнях пространственной фермы, представленной на рисунку ниже, а также реакции в опорах A₅, B₅, C₅, D₅, если на узел D₁ действует горизонтальная сила F, направленная вдоль стержня A₁D₁. Размеры указаны на рисунке. По реакциям в опорах подобрать размеры болтов из условия прочности на срез и растяжение. Материал болта - Сталь 30, [t] = 90 МПа, [s] = 180 МПа. Для определения усилий в стержнях 1 - 48 фермы воспользуемся способом вырезания узлов. Будем последовательно вырезать все узлы фермы, соблюдая требования, изложенные выше.

 

H_max × 9.81 = F = 4904.46753 × 9.81 = 48112.826 Н;

M = F × 2.5 = 48112.826 × 2.5 = 120282.065 Н×м;

F = F¢ = M / 3 = 120282.065/3 = 40094.022 Н.

 

Согласно лемме 3: S6 = 0 Sxi = 0; -S1 – S5 × cosa = 0 Syi = 0; S2 + S5 × cosa = 0                ______ cosa = 3 / Ö32 + 32 = 1 /  =  / 2

Узел A₁:

 

Согласно лемме 2:   S¢2 = F + H = 48112.826 + 0094.022 =     = 88206.848 Н Sxi = 0; -S3 = 0 Szi = 0; -S12 = 0

Узел D₁:

Sxi = 0; S¢3 + S11 × cos(90°-b) +                                      S¢5 × cosa = 0        Syi = 0; -S4 - F¢ - S¢5 × cosa = 0 Szi = 0; -S10 – S11 × cosb = 0                ______ cosb = 3 / Ö32 + 32 = 1 /  =  / 2 =     = 0.707         _________ sinb = Ö1 – 0.7072 =  = 0.707

Узел C₁:

 

Sxi = 0; S¢1 + S7 × cos(90°-b) = 0 Syi = 0; S¢4 + S9 × cosb = 0 Szi = 0; -S8 – S7 × cosb –            - S9 × sinb = 0

x

S10

S11

Узел B₁:

 

Выполним расчеты:

 

S₆ = S¢₆ = 0

S₂ = 88206.848 Н

S₅ = - S_2/cosa = - 88206.848/0.707 = - 124762.16 Н

S₁ = - S₅ × cosa = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H

S₃ = 0

S₁₂ = 0

S₁₁ = - S¢₅ × cosa / sinb = 124762.16 × 0.707/0.707 = 124762.16 H

S₄ = - F¢ - S¢₅ × cosa = - 40094.022 + 124762.16 × 0.707 = 48112.83 H

S₁₀ = - S₁₁ × cosb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H

S₇ = - S¢_1/sinb = - 88206.85/0.707 = - 124762.16 H

S₉ = - S¢_4/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H

S₈ = - S₇ × cos b - S₉ × sinb = 124762.16 × 0.707 + 68052.09 × 0.707 =

= 88206.85 + 48112.83 = 136319.68 H

Sxi = 0; -S13 - S¢7 × sinb -          - S17 × cosa = 0              Syi = 0; S14 + S17 × cosa = 0 Szi = 0; S¢6 – S18 + S¢7 × cosb = 0

Узел A₂:

Узел D₂:

Sxi = 0; -S¢15 - S¢11 × sinb = 0 Syi = 0; -S¢14 = 0 Szi = 0; S¢12 – S24 + S¢11 × cosb = 0

Sxi = 0; S15 + S¢17 × cosa +                 + S23 × sinb = 0 Syi = 0; -S16 - S¢17 × cosa -           - S¢9 × cosb = 0 Szi = 0; S¢10 – S22 – S23 × cosb +            + S¢9 × sinb = 0

Узел C₂:

Sxi = 0; S¢13 + S19 × sinb = 0 Syi = 0; S¢16 + S21 × cosb = 0 Szi = 0; S¢8 – S20 – S19 × cosb -                               - S21 × sinb = 0

Узел B₂:

Выполним расчеты:

 

S₁₄ = 0

S₁₇ = 0

S₁₃ = - S¢₇ × sinb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H

S₁₈ = S¢₇ × cosb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H

S₁₅ = - S¢₁₁ × sinb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H

S₂₄ = S¢₁₁ × cosb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H

S₂₃ = - S_15/sinb = 88206.85/0.707 = 124762.16 H

S₂₂ = S¢₁₀ - S₂₃ × cosb + S¢₉ × sinb = - 88206.85 - 124762.16 × 0.707 -

68052.09 × 0.707 = - 88206.85 - 88206.85 - 48112.83 =

= - 224526.53 H

S₁₉ = - S¢_13/sinb = - 88206.85/0.707 = - 124762.16 H

S₁₆ = - S¢₉ × cosb = 68052.09 × 0.707 = 48112.83 H

S₂₁ = - S¢_16/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H

S₂₀ = S¢₈ - S₁₉ × cos b - S₂₁ × sinb = 136319.68 + 124762.16 × 0.707 +

+ 68052.09 × 0.707 = 136319.68 + 88206.85 + 48112.83 =

= 272639.36 H

 

Sxi = 0; -S25 - S¢19 × sinb -                  - S29 × cosa = 0   Syi = 0; S26 + S29 × cosa = 0 Szi = 0; S¢18 – S30 + S¢19 × cosb = 0

Узел A₃:

 

Sxi = 0; -S¢27 - S¢23 × sinb = 0   Syi = 0; S¢26 = 0 Szi = 0; S¢24 – S36 + S¢23 × cosb = 0

Узел D₃:

Sxi = 0; S27 + S35 × sinb +           + S¢29 × cosa = 0 Syi = 0; -S28 - S¢21 × cosb -           - S¢29 × cosa = 0 Szi = 0; S¢22 – S34 – S35 × cosb +            + S¢21 × sinb = 0

Узел C₃:

Sxi = 0; S¢25 + S31 × sinb = 0 Syi = 0; S¢28 + S33 × cosb = 0 Szi = 0; S¢20 – S32 – S31 × cosb -                               - S33 × sinb = 0

Узел B₃:

 

Выполним расчеты:

 

S₂₆ = 0

S₂₉ = 0

S₂₅ = - S¢₁₉ × sinb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H

S₃₀ = S¢₁₈ + S¢₁₉ × cosb = - 88206.85 - 124762.16 × 0.707 =

= - 176413.7 H

S₂₇ = - S¢₂₃ × sinb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H

S₃₆ = S¢₂₄ + S¢₂₃ × cosb = 88206.85 + 124762.16 × 0.707 = 176413.7 H

S₃₅ = - S_27/sinb = 88206.85/0.707 = 124762.16 H

S₂₉ = - (S₂₇ + S₃₅ × sinb) / cosa = - (-88206.85 + 124762.16 × 0.707) /

/ 0.707 = 0

S₂₈ = - S¢₂₁ × cosb = 68052.09 × 0.707 = 48112.83 H

S₃₄ = S¢₂₂ - S₃₅ × cosb + S¢₂₁ × sinb = - 224526.53 -124762.16 × 0.707 -

68052.09 × 0.707 = - 360846.21 H

S₃₁ = - S¢_25/sinb = - 88206.85/0.707 = - 124762.16 H

S₃₃ = - S¢_28/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H

S₃₂ = S¢₂₀ - S₃₁ × cos b - S₃₃ × sinb = 408959.04 H

 

Sxi = 0; -S37 - S¢31 × cosb -                  - S41 × cosb = 0   Syi = 0; S38 + S41 × cosb = 0 Szi = 0; S¢30 – S42 + S¢31 × cosb = 0

Узел A₄:

b

Sxi = 0; -S¢39 - S¢35 × cosb = 0   Syi = 0; -S¢38 = 0 Szi = 0; S¢36 – S48 + S¢35 × cosb = 0

Узел D₄:

Sxi = 0; S39 + S¢41 × cosb +           + S47 × cosb = 0 Syi = 0; -S40 - S¢33 × cosb -           - S¢41 × cosb = 0 Szi = 0; S¢34 – S¢46 + S¢33 × cosb -            - S47 × cosb = 0

Узел C₄:

Sxi = 0; S¢37 + S43 × cosb +                        + S45 × cosb  = 0 Syi = 0; S¢40 + S45 × cosb = 0 Szi = 0; S¢32 – S44 – S43 × cosb= 0

Узел B₄:

 

Выполним расчеты:

S₃₈ = 0

 

S₃₉ = - S¢₃₅ × cosb = - 124762.16 × 0.707 = - 88206.85 H

S₄₁ = - S_38/cosb = 0/0.707 = 0

S₄₀ = - S¢₃₃ × cosb - S¢₄₁ × cosb = 68052.09 × 0.707 = 48112.83 H

S₃₇ = - S¢₃₁ × cosb - S₄₁ × cosb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H

S₄₂ = S¢₃₀ + S¢₃₁ × cosb = - 176413.7 - 124762.16 × 0.707 =

= - 264620.55 H

S₄₅ = - S¢_40/cosb = - 48112.83/0.707 = - 68052.09 H

S₄₃ = (-S¢₃₇ - S₄₅ × cosb) / cosb = (-88206.85 + 68052.09 × 0.707) /

/ 0.707 = - 56710.07 H

S₄₄ = S¢₃₂ - S₄₃ × cosb = 408959.04 + 56710.07 × 0.707 =449053.06 H

S₄₇ = ( - S₃₉ - S¢₄₁ × cosb) / cosb = 124762.16 H

S₄₆ = S¢₃₄ + S¢₃₃ × cosb - S₄₇ × cosb = - 497165.89 H

S₄₈ = S¢₃₆ + S¢₃₅ × cos b = 176413.7 +124762.16 ×0.707= 264620.55 H

 

Sxi = 0; xA5 - S¢43 × cosb = 0   Syi = 0; yA5 = 0 Szi = 0; zA5 + S¢42 + S¢43 × cosb = 0

Узел A₅:

 

 

Sxi = 0; xD5 - S¢47 × cosb = 0   Syi = 0; yD5 = 0 Szi = 0; zD5 + S¢48 + S¢47 × cosb = 0

Узел D₅:

Sxi = 0; xC5 = 0   Syi = 0; yC5 - S¢45 × cosb = 0 Szi = 0; zC5 + S¢46 + S¢45 × cosb = 0

Узел C₅:

Sxi = 0; xB5 = 0   Syi = 0; yB5 = 0 Szi = 0; zB5 + S¢44 = 0

Узел B₅:

Выполним расчеты:

 

x_A5 = S¢₄₃ × cosb = - 56710.07 × 0.707 = - 40094.02 H, y_A5 = 0

z_A5 = - S¢₄₂ - S¢₄₃ × cosb = 264620.55 +56710.07 ×0.707 = 304714.57 H

x_D5 = S¢₄₇ × cosb = 124762.16 × 0.707 = 88206.85 H

y_D5 = 0

z_D5 = - S¢₄₈ - S¢₄₇ × cosb = - 264620.55 - 124762.16 × 0.707 =

= - 352827.4 H

x_C5 = 0

y_C5 = S¢₄₅ × cosb = - 68052.09 × 0.707 = - 48112.83 H

z_C5 = - S¢₄₆ - S¢₄₅ × cosb = 497165.89 + 68052.09 × 0.707 =

= 545278.72 H

x_B5 = 0

y_B5 = 0

z_B5 = S¢₄₄ = S₄₄ = 449053.06 H

 

Определим реакции в опорах:

 

R_A5 = Öx²_A5 + y²_A5 + z²_A5 = 307341.02 H

_______________

R_D5 = Öx²_D5 + y²_D5 + z²_D5 = 363686.16 H

_______________

R_C5 = Öx²_C5 + y²_C5 + z²_C5 = 547397.23 H

_______________

R_B5 = Öx²_B5 + y²_B5 + z²_B5 = 449053.06 H

 

Из всего вышеуказанного видно, что все опоры являются нагруженными - и эти нагрузки довольно большие, т.к мы имеем тяжелый исходный провод и большой пролет.

Теперь из проверки на срез и растяжение болтов в опорах подберем его минимально допустимый диаметр.

 

[s] _т = 240 МПа

[t] = 60 МПа

[s] _раст = 0.6 × [s] _т = 144 МПа

 

Для опоры A₅:

 

 

Для опоры D₅:

 

 

Для опоры C₅:

 

 

Для опоры B₅:

 

Использованная литература

 

1. Кореняко О.С. и другие “Курсовое проектирование по теории машин и механизмов".

2. Методические указания “Задание на курсовой проект по курсу “Прикладная механика””.

3. Методические указания “Практические занятия по курсу “Прикладная механика”".

4. Яблонский “Сборник задач по теоретической механике”.