II . Векторные пространства и матрицы

Курс «ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ» 2007-2008

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ[1]

I . Натуральные и целые числа

1. По индукции доказать равенство

1⁴ + 2⁴ +…+ n⁴ = .

2. Записать число  387  в двоичной и троичной системах счисления.

3. В системе счисления по основанию  26  цифрами являются символы A, B, C,…, Y, Z. Перевести в десятичную систему счисления число (MATH)₂₆.

4. Умножить  160  на  199  в системе счисления по основанию  7.

5. Найти d = НОД(2613; 2171). Записать d в виде d = 2613a + 2171b, где a, b – целые числа.

6. Решить сравнения

113x º 89 (mod 311),                       143x º 41 (mod 221).

7. Записать таблицы сложения и умножения для кольца Z / 12Z. Найти делители нули, обратимые элементы и обратные к ним.

8. Для функции f : Z / 12Z ® Z / 12Z, определённой формулой f(x) = 5x + 2, найти обратную.

9. Вычислить без калькулятора 38⁷⁵ (mod 103).

10. *Пусть A – множество функций f,  определенных на интервале [0, 1] и принимающих значения в R. И таких, что f(0) = 0. Для f, g Î A и x Î [0, 1] положим (f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x). Тем самым в A определены алгебраические операции. Будет ли A кольцом относительно указанных операций? Если ли в A нулевой и единичный элементы?

11. *Используется 27-буквенный алфавит  A, B, C,…, Y, Z, __.  Посимвольное шифрование осуществляется с помощью аффинной криптосистемы. Перехваченный зашифрованный текст есть  «OFJDFOHFXOL». Известно, что первым словом исходного текста является «I__». Найти шифровальный ключ и прочитать сообщение.

12. *В RSA-криптосистеме используется 40-символьный алфавит A, B,…, Y, Z, _ , ., ?, $, 0, 1, 2,…, 9. Исходный текст «SEND $7500» режется на блоки длины  2.  Зашифрованный текст – на блоки длины  3. Шифровальный ключ k = (n, e) = (2047, 179). Зашифровать исходный текст. Вскрыть дешифровальный ключ k¢ = (n, d). Дешифровать зашифрованный текст и сравнить с исходным.

13. Используя тест Ферма для различных оснований, определить, является ли число 91 простым, псевдопростым или составным числом.

II . Векторные пространства и матрицы

1. Является ли векторным пространством множество F отображений интервала [0, 1] во множество R вещественных чисел, имеющих лишь конечное число значений.

2. Пусть n – натуральное число. Для x, y, a Î Z положим  +  = ,  = . Доказать, что тем самым на множестве Z / nZ корректно определены алгебраические операции. Будет ли Z / nZ относительно этих операций Z-модулем? Ответ обосновать.

3. Являются ли векторы  = (1, 1, 1),  = (1, 1, 2),  = (1, 2, 3) линейно зависимыми или линейно независимыми над R?

4. Пусть V = F([0, 1]; R) – векторное пространство вещественных функций, определённых на интервале [0, 1]. Доказать, что функции y = x, y = x², y = 2x линейно независимы над R.

5. Доказать, что векторы  = (1, 1, 1),  = (-1, 1, 0),  = (1, 0, -1) образуют базис векторного пространства R³ и разложить вектор  по этому базису.

6. Указать какой-либо базис пространства решений системы линейных уравнений

7. Указать какой-либо базис векторного подпространства, порождённого многочленами 

X ² + 1,             -X ² + 2X,              X ² – X,              -2X ² + X – 1   

в R[X].

1. В пространстве   найти подпространство V,  порождённое векторами  = (1, 1, 1),  = (2, 1, 0).
2. Найти базис подпространства U Ì R³, определяемого уравнением 2X + Y – 3Z = 0.

10. Найти обратную матрицу к матрице M =   над конечным полем F₅.

11. Пусть  M =  - матрица над полем k. Вычислить M ² и показать, что существуют a, b Î k, такие, что M ² – a M – b I = O.

12. Найти наибольший общий делитель  d = НОД(2613; 2171)  и представить его в виде d =2613u + 2171v, используя матричную форму алгоритма Евклида.

13. *Используется 31-символьный алфавит A, B,…, Y, Z, ␣, . , ?, !, ‘. Символы замаркированы числами 0, 1,…, 30, которые рассматриваются как целые числа по модулю 31. Единичные сообщения представляют собой блоки длины 2. Секретная переписка будет вестись с помощью аффинной криптосистемы C = AP + B, где A = , B = . Зашифровать сообщение «MATHEMATIC». Найти дешифрующую функцию. Расшифровать зашифрованное сообщение.

14. Матрица прямых затрат имеет вид A =   и вектор  =   конечного потребления. С помощью модели Леонтьева найти вектор   валового выпуска.

15. Проверить, является ли группой множество G с алгебраической операцией * ?

· G = R, x * y = 3x + 4y,

· G = {x Î R½|x| < 1}, x * y = .

16. Пусть G – множество пар (a, b) вещественных чисел, у которых a ¹ 0. Определим произведение двух элементов из G при помощи равенства

(a, b)(a¢, b¢) = (aa¢, ab¢ + b).

· доказать, что G – некоммутативная группа,

· Определим отображение j группы G во множество R вещественных чисел, полагая j(a, b) = a. Проверить, что j((a, b)(a¢, b¢)) = j(a, b)j(a¢, b¢). 

· Доказать, что множество H = {(a, b) Î G½j(a, b) = 1} образует подгруппу в G.

17. Найти все подгруппы циклической группы áañ = {a, a², a³, a⁴, a⁵, a⁶ = e}, состоящей из шести элементов.

18. Записать таблицу умножения группы перестановок S₃ и найти все её подгруппы.

19. Пусть A – коммутативное кольцо, H – подмножество в GL₂(A), состоящее из матриц вида , у которых ac Î A^´, называемых верхними треугольными матрицами. Доказать, что H – подгруппа группы GL₂(A).

20. *Используется 33-х символьный алфавит А, Б,…, Ю, Я. Символы маркируются целыми числами 0, 1,…, 32 по модулю 33. Единичные сообщения длины 3 записываются в квадратную матрицу порядка 2. Матрица дополняется до обратимой матрицы P. Шифровка осуществляется возведением P в степень e = 23. Зашифровать сообщение «КРИПТОГРАФИЯ». Найти дешифровальный ключ. Расшифровать зашифрованное сообщение.