I II . Многочлены, комплексные числа, конечные поля, кватернионы

1. Вычислить наибольший общий делитель d многочленов f , g Î k[X], записать d в виде d = fs + gt.

· f(X) = X ⁷ + 2X ⁵ + 2X ² – X + 2, g(X) = X ⁶ – 2X ⁵ – X ⁴ + X ² + 2X + 3, k = Q,

· f(X) = X ⁷ + 1,                             g(X) = X ⁵ + X ³ + X + 1,                      k = F₂.

2. Решить сравнение (X ² + 1) f(X) º 1 (mod(X ³ + 1)) в кольце F₃[X].

3. Построить таблицы сложения и умножения для факторкольца E = k[X] / (f), найти его мультипликативную группу и делители нуля.

· E = F₂[X] / (X ³ + X ² + X),

· E = F₃[X] / (X ³ + X ² + 1)

1. Является ли подкольцом кольца матриц  M₂(Q)  подмножество  B  матриц вида   ,  где a, b Î Z, D – целое число, не являющееся квадратом. Будет ли B подполем, если допустить, что a, b Î Q.

5. Вычислить z = (1 – i)² – (1 + i)³, z = .

1. Записать в тригонометрической форме z = 2 – i2.

7. Решить уравнение |z| - z = 1 + 2i.

8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству |z| > 1 – Re z.

9. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству  |p - arg z| < p /4.

10. *Выяснить геометрический смысл преобразования C ® C, z a (1 + i)z.

1. Используя формулу Муавра, вычислить z = .
2. Используя формулу Муавра, выразить cos 3j через cos j и sin j.
3. Найти все корни .
4. *Используя формулу Муавра, вычислить сумму cos j  + cos 2j  + cos 3j  +…+ cos n j.
5. Решить уравнение z² + (2i – 3)z + 5 – i = 0.
6. Решить уравнение  z⁴ + 4z² + 3 = 0.
7. Разложить многочлен z⁴ + z² + 1 на линейные или квадратичные множители с действительными коэффициентами.
8. Вычислить .
9. Найти частное q и остаток r от деления a = 4 - 3i на b = 1 – i в кольце Z[i].
10. Найти  d = НОД(a, b)  для целых гауссовых чисел a = 6 + 4i  и  b = 5 – i  и записать d в виде d = ua + vb для некоторых u, v Î Z[i].
11. *Пусть y –нечётное целое. Доказать, что числа 2 + iy и 2 – iy взаимно просты в Z[i].
12. *Пусть y –нечётное целое. Доказать, что НОД(y + i, y – i) = 1 + i.
13. Доказать, что числа 2, 3, ,   являются неприводимыми в кольце . Доказать, что в   не выполняется Основная теорема арифметики.
14. Доказать, что числа 2, 7, 2 + , 2 –   являются неприводимыми в кольце . Доказать, что в   не выполняется Основная теорема арифметики.
15. Пусть A – коммутативное кольцо, не имеющее делителей нуля, a, b Î A. Доказать что (a) = (b) тогда и только тогда, когда элементы a и b ассоциированы, т.е. когда существует единица e Î A, такая, что a = e b.
16. Какие из следующих главных идеалов: (2), (3) и (6) кольца Z целых чисел являются простыми, а какие нет?
17. Перемножить кватернионы z = 2 + 3i – j + k и z¢ = 1 – i + 2j + 3k.
18. Вычислить (2 + i + j – 2k)².
19. Вычислить (2 + i + 2j)^-1.
20. Используя матричное представление кватернионов, вычислить (1 – i + 2j – 3k)².
21. Перемножить октонионы

z = 1 + i – 2j +2k – 3l + m – n + 3o и z¢ = 1 + 2i +k – l – 2n + o.

1. Найти примитивные корни поля F₇.
2. Построить поле F₈, найти его примитивный корень g, записать для него таблицу логарифмов и вычислить (g + 1)(g² + g), 1 / (g² + 1).
3. *Используется 31-символьный алфавит A, B,…, Y, Z, __ , . , ?, !, ‘. Секретная переписка будет вестись с помощью аффинной криптосистемы C º AP + B (mod 31). Шифровальный ключ k = (A, B) рассматривается как элемент  A + Bi  конечного поля  F_q,  состоящего из  q = 31² = 961 элемента (i – класс одночлена X по модулю многочлена X ² + 1 Î F₃₁[X], убедиться, что многочлен X ² + 1 неприводим над F₃₁). Обмен ключами ведётся по системе Диффи-Хеллмана с использованием примитивного корня g = 4 + i поля F₉₆₁. Пользователь A выбрал секретное целое число a = 209. Пользователь B прислал к A значение g^b = 1 + 19i.

· Определить ключ шифрования k.

· Какой элемент g^a должен послать пользователь A к B, чтобы тот также смог определить ключ шифрования k ?

I V. Геометрия

1. Пусть V – векторное пространство многочленов степени £ 3 с коэффициентами из R. Найти матрицу преобразования f : V ® V, u a u¢ в базисе 1, X, X ², X ³.
2. Найти матрицу линейного отображения f : C ® C,  z a (2 + 3i)z  в базисе 1, i над R.
3. Найти матрицу линейного преобразования f : H ® H, z a (1 + i– j)z в базисе 1, i, j, k над R.
4. Найти образ полуплоскости Re z ³ 0 при отображении f : C ® C,  z a (2 + 3i)z.
5. Найти прообраз единичного круга при отображении f : C ® C,  z a .

6. Фабрика производит столы и стулья. В производстве используется древесина, металлическая фурнитура, лак, электричество и живой труд. Расход указанных видов ресурсов на производство единицы продукции, их запасы на месяц и прибыль, которую фабрика рассчитывает получить от реализации единицы продукции, задаются следующей таблицей:

Геометрически определить месячный план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли.

1. Найти ортонормированный базис подпространства  U Ì R³,  определяемого уравнением  2X + Y – 3Z = 0.
2. Задана порождающая матрица  G =   кода С над F₃.  Найти проверочную матрицу H данного кода.
3. В условиях предыдущей задачи найти минимальное расстояние кода C.
4. В условиях задачи 8 найти ортогональное подпространство C^{^}.
5. Используя код из задачи 8, закодировать сообщение u = (2, 1),  внести в него ошибку  e = (0, 0, 0, 2) и декодировать его.