Примеры разностных аппроксимаций.

Разностные аппроксимации

Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

w _h ={x_i=ih, i=0, ± 1, ± 2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [x_i-1, x_i+1]. Обозначим

Разностные отношения

называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке x_i , т.е. при фиксированном x_i  и при h®0 (тем самым при i®¥) пределом этих отношений является u’(x_i). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим

u_x,i – u’(x_i) = 0,5hu’’(x_i) + O(h²),

u_x,i – u’(x_i) = -0,5hu’’(x_i) + O(h²),

u_x,i – u’(x_i) = O(h²),

Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная

аппроксимирует u’’(x_i) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

(1)

с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением

                                                                                                            (2)

где a=a(x) – функция, определенная на сетке w_h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (au_x)_x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке x_i со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения

С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,

Отсюда видно, что L_hu–Lu = O(h²), если выполнены условия

(3)

Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:

Заметим, что если положить a_i = k(x_i), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа

(4)

Введем на плоскости (x₁, x₂) прямоугольную сетку с шагом h₁ по направлению x₁ и с шагом h₂ по направлению x₂, т.е. множество точек

w _h = {(xⁱ₁, x^j₂) | xⁱ₁ = ih₁, x^j₂ = jh₂; i, j = 0, ± 1, ± 2,…},

и обозначим

Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение

(5)

аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. L_hu_ij – Lu(xⁱ₁, x^j₂) = O(h²₁) + O(h²₂). Более того, для функций u(x₁, x₂), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x₁, x₂) в пяти точках сетки, а именно в точках (x₁ⁱ, x₂^j), (x₁^i±1, x₂^j), (x₁ⁱ, x₂ ^j±1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.