Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица
Во всех задачах исследования цепи на устойчивость необходимо решить, имеет ли характеристическое уравнение знаменателя ОПФ проектируемой цепи корни, расположенные в правой полуплоскости. Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения знаменателя, называют критериями устойчивости. В настоящее время известен ряд критериев устойчивости, среди которых чаще всего используются критерии устойчивости, предложенные А. Гурвицем (1895), А. В. Михайловым (1938) и Г. Найквистом (1932). Не все они одинаково удобны и универсальны, в каждом частном случае один из них может оказаться предпочтительным. Один из первых критериев устойчивости был найден немецким математиком А. Гурвицем и опубликован им в 1895 году. Он определил условия, которым должны удовлетворять специально составленные соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все корни последнего имели отрицательные вещественные части или, иными словами, были расположены в левой полуплоскости. Формулировка критерия устойчивости Гурвица: (в алгебре критерий Рауса-Гурвица) цепь будет устойчивой, если определитель: , составленный из коэффициентов полинома знаменателя ОПФ:
и все его главные миноры ; ; принимают положительные значения. Этот критерий приводится без доказательства. Определитель принято называть определителем Гурвица. Он составляется по следующему простому правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты в том порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента . В каждом из столбцов под диагональным элементом выписываются коэффициенты с убывающими, а над ним – с возрастающими индексами. Все коэффициенты, индексы которых превышают или отрицательны, заменяются нулями. При этом следует учесть, что . Пример. Пусть дан полином четвертой степени: . Ему соответствует определитель Гурвица: . Главные миноры этого определителя: ; ; ; . Определитель и все его миноры положительны. Следовательно, все корни рассматриваемого уравнения лежат в левой полуплоскости. Действительно, легко убедиться подстановкой, что значения корней уравнения таковы: ; ; . Полиномы с вещественными коэффициентами, нули которых расположены в левой полуплоскости, принято в ТЭЦ называть полиномами Гурвица или устойчивыми полиномами. В дальнейшем их будем обозначать J(p). Можно показать, что положительность коэффициентов полинома и неравенство их нулю есть необходимое, но недостаточное условие принадлежности его к классу полиномов Гурвица. Так полиномы и не могут быть J(p) поскольку в первом есть отрицательный коэффициент (‑1), а во втором коэффициент при равен нулю. В дальнейшем ОПФ пассивных цепей будем записывать в виде: .
Связь между ОПФ и КПФ
КПФ образуется из ОПФ путем замены оператора на оператор , т.е. . . Если степень, в которую возводится оператор четная, то: , если же она нечетная, то . Отсюда следует вывод, что вещественные части полиномов представляют собой четные функции частоты, а мнимые – нечетные, т. е. можно в общем виде записать: , где – четные полиномы частоты . Возьмем модуль и аргумент и в результате получим: . Откуда: АЧХ: ; ФЧХ: . По этим выражениям можно построить графики. Литература 1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник); 2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. 3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник); 4. Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (194)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |