Деформированное состояние

Д е ф о р м а ц и я — это изменение формы и размеров тела. Для оценки этих изменений применяют различные характеристики. Деформация происходит за определенный промежуток времени. В процессе деформации под действием внешних сил все точки тела перемещаются и изменяется их взаимное положение. Рассмотрим деформацию двух взаимно перпендикулярных отрезков АВ и АС вблизи точки А в плоскости х0y (рис. 2.3). После деформации точка А переместилась в положение А₁, а отрезки заняли положение А₁В₁ и А₁С₁. Вектор перемещения точки А при плас-

 

тической деформации обозначен U, его проекции на оси координат U _x и U _y.

C

x

U

y



y

U

x

A

B

B

1

C

1

A

1





dx

dy

U

Рис. 2.3. Малые деформации в окрестности точки

Линейные деформации оцениваются отношением удлинения или укорочения отрезка к его исходной длине. В данном случае деформации (относительные удлинения) вдоль соответствующих осей при допущении малости углов  и :

AB1 1 – AB   AC1 1 – AC

_xx  ; _yy  .

 

 

AB  AC

Относительные удлинения могут быть растягивающими (положительными) и сжимающими (отрицательными). В данном случае (см. рис. 2.3) деформация вдоль оси у отрицательна: _уу < 0, а вдоль оси х — положительна: _хх > 0.

Деформации сдвига оцениваются изменением углов, в данном случае



_xy  .

 

2

Используя дифференциальные соотношения и некоторые упрощения, считая деформации малыми (не более 0,1) и отрезки прямолинейными, можно получить следующие дифференциальные соотношения Коши в плоскости х0у (см. рис. 2.3) для определения относительных удлинений и сдвигов:

U x U _у 1 U x U _у  (2.8) xx  ; _уу  ; xу    _.

 

 

 

x  у  2  у        x 

В общем случае вблизи точки рассматривают элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. При деформации изменяются линейные размеры ребер (но линии остаются прямыми), изменяются углы между ребрами. Линейная деформация параллелепипеда связана с изменением его объема. Угловая деформация сдвига не связана с изменением объема, а приводит к изменению формы тела. Рассматривая деформации граней параллелепипеда, можно записать еще шесть дифференциальных соотношений, подобных (2.8), и ввести т е н з о р м а л ы х д е ф о р м а ц и й, который определяет деформированное состояние в окрестности произвольной точки деформируемого тела:

xx  T yx zx 

xy yy zy

xz   yz . zz 

Деформации тела называются малыми порядка  << 1, если для любых i, j в каждой точке в данный момент времени |_ij | , и величиной ² можно пренебречь. Обычно принимается = 0, 1.

Линейные деформации могут приводить к изменению объема тела, поэтому для несжимаемого тела их сумма должна быть равной нулю. Это условие называется у с л о в и е м п о с т о я н с т в а о б ъ е м а и л и н е с ж и м а е м о с т и:

хх + уу + zz = 11 + 22 + 33 = ij = 0,      (2.9)

где ₁₁ > ₂₂ > ₃₃ — главные деформации (удлинения), направленные по трем ортогональным главным осям, между которыми отсутствуют сдвиги. Тензор деформаций в главных осях записывается в виде

11  T  0  0 

0 22 0

0   0  . 33 

Можно также найти плоскости, на которых действуют главные сдвиги:

12 = 11 – 22; 23 = 22 – 33; 31 = 33 – 11.   (2.10)

Для оценки общей величины деформации применяют интенсивность деформаций сдвига

   Г 

2

2

2

33

11

33

22

22

11

2

–

)

(

–

)

(

–

)

,

(

3

























 (2.11)

смысл названия которой становится понятен, если учесть соотношения (2.10) и записать Г через главные сдвиги :

Г 

2

2

2

12

23

31

2

(

).

3







В случае несжимаемого материала достаточно определить две главные деформации, а третью — из условия (2.9), например:

22 = –11 – 33.

Тогда выражение (2.11) можно записать в упрощенном виде:

Г  2 112 1133 332 . (2.12)

Из условия несжимаемости (2.9) следует, что все три главные деформации не могут иметь одинаковый знак. Возможны только разноименные схемы, показанные на рис. 2.4, и реально осуществимы одна плоская (рис. 2.4, б) и две объемные (рис. 2.4, а, в) схемы.

а



33



11



22



33



11



33



11



22

б

в

Рис. 2.4. Возможные схемы деформированного состояния:

а, в — объемные; б — плоская

Различают следующие виды деформаций: упругая, пластическая, однородная, равномерная, горячая, холодная, монотонная, немонотонная (знакопеременная), малая, большая.

У п р у г а я д е ф о р м а ц и я — обратимая, после снятия нагрузки тело восстанавливает свои форму и размеры.

П л а с т и ч е с к а я д е ф о р м а ц и я — необратимая, остается после снятия нагрузки.

Переход от упругих деформаций к пластическим наглядно иллюстрирует диаграмма растяжения (рис. 2.5) в координатах осевое напряжение — осевая деформация. Для начального участка диаграммы характерна прямая пропорциональность между напряжением и деформацией:

_хх = Е  _хх,      (2.13)

где Е — модель упругости (модуль Юнга).



хх



хх



в



т



пц

1

2

Рис. 2.5. Диаграмма растяжения образца:

_пц — предел пропорциональности; _т — предел текучести; _в — временное сопротивление

Выражение (2.13) носит название закона Р. Гука, установленного в 1660 г.

Максимальное напряжение, соответствующее закону (2.13), называется п р е д е л о м п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и _пц. Далее наблюдается отклонение от прямопропорциональной зависимости.

Участок, параллельный оси абсцисс, называют площадкой текучести. Напряжение, при котором образуется площадка текучести, называется п р е д е л о м т е к у ч е с т и _т. В тех случаях, когда материал не имеет явно выраженной площадки текучести, за предел текучести принимают напряжение, при котором остаточная деформация не превышает 0,2 %. Такое напряжение называют условным пределом текучести _0,2. Начиная с точки 2 диаграммы на образце появляется местное сужение (шейка), деформация становится неравномерной. Напряжение, отвечающее наибольшей нагрузке, предшествующей образованию шейки (точка 2), называется в р е м е н н ы м с о п р о т и в л е н и е м _в.

Важная для теории и практики ОМД часть диаграммы (1—2) — к р и в а я у п р о ч н е н и я (рис. 2.6). Напряжения в этой части называются с о п р о т и в л е н и е м д е ф о р м а ц и и _s.

Это напряжения одноосного растяжения или сжатия в условиях развитой пластической деформации. Очевидно, что при одноосном растяжении _s= _xx = ₁₁, а ₂₂ = ₃₃ = 0. Интенсивность касательных напряжений, рассчитываемая по формуле (2.6), в этом случае

Т _s / 3.



т

(



0

,

2

)



хх

1

2



s

Рис. 2.6. Кривая упрочнения:

_0,2 — условный предел текучести; _s — сопротивление деформации

Часто при решении теоретических задач ОМД упругой частью деформации пренебрегают, так как она составляет не более 0,3 %. Кривую упрочнения обычно аппроксимируют степенной зависимостью

_s= _0,2 + b^c, (2.14)

где b, c — эмпирические коэффициенты.

Условия перехода от упругих деформаций к пластическим называют у с л о в и я м и п л а с т и ч н о с т и. Широко используются два условия:

1) условие Треска — Сен-Венана

₁₁– ₃₃ = _т, (2.15)

где коэффициент = 1 — для осесимметричной деформации и

= 1,15 — для плоской деформации;

2 . ОСОБЕННОСТИ И ВИДЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ОМД

 

2) óñëîâèå Ãóáåðà — Ìèçåñà

Т=σ_т/ 3 =τ_s, (2.16)

ãäå τ_s — ïðåäåë òåêó÷åñòè ïðè ÷èñòîì ñäâèãå.

Ñìûñë óñëîâèÿ (2.15) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ íà÷èíàåòñÿ ïðè äîñòèæåíèè ìàêñèìàëüíûì êàñàòåëüíûì íàïðÿæåíèåì (ñì. ôîðìóëû (2.7)) îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû (ïðåäåëà òåêó÷åñòè íà ñäâèã).

Óñëîâèå (2.16) íàçûâàåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàòåðèàë ïëàñòè÷åñêè äåôîðìèðóåòñÿ, êîãäà èíòåíñèâíîñòü êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé äîñòèãàåò îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû. Óñëîâèå (2.16) ÷àñòî íàçûâàþò ó ñ ë î â è å ì è ä å à ë ü í î é ï ë à ñ ò è ÷ í î ñ ò è, êîòîðîå èñïîëüçóþò ïðè ðåøåíèè òåîðåòè÷åñêèõ çàäà÷.

Î ä í î ð î ä í î é íàçûâàåòñÿ äåôîðìàöèÿ òåëà, ïðè êîòîðîé ãëàâíûå îñè èìåþò îäèíàêîâûå íàïðàâëåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ òåëà è îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè â òå÷åíèå âñåãî ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè îäíîðîäíîé äåôîðìàöèè îòñóòñòâóþò ñäâèãè. Ïðè îäíîðîäíîé äåôîðìàöèè êîìïîíåíòû ïåðåìåùåíèé ëèíåéíî çàâèñÿò îò êîîðäèíàò, ò. å. èìååò ìåñòî øèðîêî ïðèìåíÿåìàÿ â òåîðèè ÎÌÄ ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå÷åíèé.

Ð à â í î ì å ð í î é íàçûâàåòñÿ òàêàÿ äåôîðìàöèÿ, òåíçîð êîòîðîé ïîñòîÿíåí â ëþáîé òî÷êå òåëà, ò. å. íå çàâèñèò îò åå êîîðäèíàò. Ðàâíîìåðíàÿ äåôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîðîäíîé; îíà âîçìîæíà â óñëîâèÿõ ëèíåéíîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ.

à î ð ÿ ÷ à ÿ äåôîðìàöèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå ìåòàëëà, ðàâíîé òåìïåðàòóðå åãî ðåêðèñòàëëèçàöèè èëè âûøå åå. Åñëè òåìïåðàòóðà îáðàáàòûâàåìîãî ìåòàëëà íèæå òåìïåðàòóðû ðåêðèñòàëëèçàöèè, òî òàêàÿ äåôîðìàöèÿ íàçûâàåòñÿ õ î ë î ä í î é. Òåìïåðàòóðà ðåêðèñòàëëèçàöèè θ_ðåê = (0,4—0,6) θ_ïë K, ãäå θ_ïë K — òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ìåòàëëà èëè ñïëàâà â êåëüâèíàõ; êîýôôèöèíò 0,4 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñòûì ìåòàëëàì, à 0,6 — ñïëàâàì. Ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè òåìïåðàòóðû ïî øêàëå Êåëüâèíà (θ K) è øêàëå Öåëüñèÿ èìååò âèä θ K = θ °Ñ + 273,15 °Ñ.

Например, деформация свинца при комнатной температуре (293 K) является горячей, т. к. _пл K = 327 °С + 273,15 °С = 600,15 K, а температура рекристаллизации _рек = 0,4 _пл K = 240 K. Таким образом, температура обработки выше температуры рекристаллизации.

М о н о т о н н а я — такая деформация, при которой на каждой ступени в процессе значительного формоизменения остаются постоянными отношения ___ и направления главных удлинений связаны с одними и теми же материальными волокнами.

Существенно н е м о н о т о н н ы м (з н а к о п е р е м е н н ы м) называют деформирование, при котором по крайней мере один раз изменилось направление деформации в некотором материальном направлении (удлинение сменилось укорочением или наоборот).

Для перехода к большим деформациям траекторию движения частицы делят на прямолинейные участки, соответствующие малым деформациям. На каждом участке вычисляют Г_i и, считая их аддитивными, определяют суммарную степень деформации ( сдвига )

 = Г_i.

Характеристики б о л ь ш и х (к о н е ч н ы х) деформаций определяют интегрированием. Например, конечное монотонное удлинение тела c L₀ до L_к вдоль оси х можно оценить через логарифмическую деформацию:

L

^к dx  L ^к

     _хх     ln .      (2.17) L0 x    L 0

Логарифмические деформации обладают свойством аддитивности (их можно суммировать) при многоэтапном деформировании. Например, если удлинение происходит в 3 этапа L₀  L₁ 

 L₂ L_к, то логарифмическая деформация на первом этапе

L¹             L²             L ^к

_хх  ln , на втором — _хх(2)  ln , на третьем — _хх(3)  ln .

 

 

 

L0            L1            L 2

Итоговая деформация

 L1         L2            Lк  L к

хх  хх(1)  хх(2)  хх(3)  ln                ln       .

 L0         L1            L2  L0

В инженерных расчетах для характеристики удлинения изделий применяют к о э ф ф и ц и е н т в ы т я ж к и. Суммарный коэффициент вытяжки равен отношению конечной длины к начальной, для цилиндрических тел — отношению исходной площади поперечного сечения к конечной:

L^к             F ⁰

     .       (2.18)

 

L0            F к

Итоговый коэффициент вытяжки при многоэтапном деформировании определяется умножением. Для рассматриваемого примера

L1            L2            Lк             L к

  1 2 3              .

L0            L1            L2            L 0

Вычислим, например, характеристики деформированного состояния при однородной деформации параллелепипеда исходных размеров Н₀ (высота), В₀ (ширина), L₀ (длина) до конечных Н₁, В₁, L₁ путем обжатия по высоте с увеличением ширины (уширением) и длины (вытяжкой). Условие постоянства объема тела

Н0В0L0 = Н1В1L1.

После деления правой части на левую условие примет вид

H1           B1            L 1

        1 ,

 

H0           B0            L 0

B¹ L ¹ где — коэффициент уширения;  — коэффициент вытяжки.

 

 

B0 L 0

Прологарифмируем последнее выражение:

H¹     B ¹

ln     ln  ln  0 ,

H0     B 0

или

_Н + _В + _L = 0.

Если считать слагаемые последнего выражения главными логарифмическими деформациями (причем _L > 0, _В > 0, _Н < 0), то оно совпадает с условием несжимаемости (2.9) и по сути является условием постоянства объема.

С к о р о с т ь д е ф о р м а ц и и — это изменение относительной деформации в единицу времени. Например, скорость относительного удлинения

_хх= _хх/t. (2.19)

Так как относительная деформация — величина безразмерная, скорость деформации имеет размерность 1/с.

Перемещения и деформации, показанные на рис. 2.3, могут произойти с различной скоростью. Знать скорости деформации особенно важно в случае горячей обработки, так как имеет место скоростное упрочнение. Скорость перемещения точки А в положение А₁ (см. рис. 2.3) определяется как  = U/t, а скорости линейных перемещений

  _x  ^{U x} ; _y  U ^y .  (2.20)

 

 

t   t

Уточним выражение (2.19), используя (2.8) и (2.20):

U ^x      (^xt)   ^x .

_xx _xx /t   / t   /t 

 

 

 

 x          x       x

Аналогично можно вычислить остальные компоненты тензора скоростей деформаций:

y    1 х                  y  yy  ; хy           и т.д. y  2  y       х 

(2.21)

 

 

Тензор скоростей деформаций имеет вид

xx  T yx zx 

xy yy zy

xz   yz . zz 

У с л о в и е н е с ж и м а е м о с т и можно записать через скорости деформаций:

хх + уу + zz = 11 + 22 + 33 = ii = 0,

где ₁₁ > ₂₂ > ₃₃ — г л а в н ы е с к о р о с т и д е ф о р м а ц и й (удлинений), направленные по трем ортогональным главным осям. Тензор скоростей деформаций в главных осях записывается в виде

11  T  0  0 

0 22 0

0   0  . 33 

Для оценки скорости деформации применяют также и н т е н с и в н о с т ь с к о р о с т е й д е ф о р м а ц и й с д в и г а

    Н 

2

2

2

33

11

33

22

22

11

2

–

)

(

–

)

(

–

)

.

(

3

























 (2.22)

С т е п е н ь д е ф о р м а ц и и с д в и г а, накопленную при движении частицы, рассчитывают по формуле

t

Λ Hdt, (2.23)

0

где t — время деформации, а интегрирование ведется вдоль траектории движения частицы.

2.1. Основные понятия теории ОМД