Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций

Аси́мпто́та (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.

2.

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов.

В других разделах было показано, что исследование функции f(x) на минимум и максимум, на точки перегиба облегчают построение графика этой функции. Но кривая y = f(x) может иметь асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближается кривая по мере удаления ее переменной точки в бесконечность.

Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).
Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых yобращается в бесконечность, т.е. при которых .
Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a (1)

В самом деле, непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равно d = | x - a |. Когдаx ® a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямая x = a является асимптотой кривой y = f(x)

Интеграл. Свойства интеграла

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является

Свойства интеграла:             

∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C

∫(αf(x)+βφ(x))dx=α∫f(x)dx+β∫φ(x)dx, α,β - постоянные

∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C

(∫f(x)dx)'=f(x)

∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx

∫aaf(x)dx=0

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx, где T - период функции f(x)

∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx, если f(x)≥g(x)

|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx

m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a), если m≤f(x)≤M

∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx, если f(x) - четная

∫-aaf(x)dx=0, если f(x) – нечетная