Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Если после изучения данного теоретического материала (Формула Ньютона-Лейбница) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

§ Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

§ Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость можно различными способами. Ниже представлены примеры решения несобственных интегралов. Для получения решения нужно кликнуть по картинке.

Определение функции двух переменных. Линии уровня функции двух переменных.

Для изучения характера функции двух переменных z = удобно рассматривать так называемые линии уровня с уравнением = с, с = const. Например, для линиями уровня являются = с, с = const — семейство концентрических окружностей

Для функции трех переменных область определения D является множеством точек в пространстве, в частности некоторым телом в пространстве, но изобразить графически функцию трех переменных уже невозможно. Для изучения характера ее изменения рассматриваются поверхности уровня с уравнениями (х, у, z) = с, с = const.

При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.

Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

Другой пример: изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть:
x - затраты по материалам,
y - расходы на выплату заработной платы работникам,
z - амортизационные отчисления.
Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.

Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния илиобластью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Для функции

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Изучать функции нескольких переменных удобно, рассматривая функции двух переменных z =(х, у) вследствие их геометрической наглядности. Получаемые при этом результаты могут быть обобщены на случай большего числа независимых переменных.

Частные производные. Полное производное и полный дифференциал.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Пусть функция u = f(x₁, x₂, … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂, … , a_n) .
Пусть

— частное приращение функции u в точке a , соответствующее приращению Δx_k аргумента x_k .

Определение 1. Если существует предел

то он называется частной производной функции u = f(x) по аргументу x_k в точке a.

Эта частная производная обозначается любым из символов:

Так как в определении частной производной по x_k значения всех аргументов, кроме x_k , не изменяются, эта частная производная вычисляется по тем же правилам, что и производная функции одной переменной x_k .

Односторонние частные производные определяются аналогично односторонней производной функции одной переменной.

Геометрический смысл частных производных:

Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y) , определенную в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) . Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной f(x, y₀) , α является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — понятие математического анализа, линейная часть приращения функции.

Дифференциал в точке обычно обозначается ^[1][2], но иногда также , или ^{[источник?]}, а также , когда значение ясно из контекста.

Дифференциал в точке является линейным отображением из множества векторов вида в пространство значений функции^[3]. В простейшем случае повсюду определённой функции одной переменной с вещественными ( ) значениями дифференциал отображает .

Результат применения этого отображения к вектору (вычисления функции) называется значением дифференциала в точке на векторе и обозначается как , ^[2], , или , а также , если значение ясно из контекста.