Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом.

№ 105. Укажите все значения m, при каждом из которых неравенство верно при любом значении х:

 

а) 2x² - x + m > 0; б) 3x² + 2x + m > 0.

 

Так как у обоих неравенств a > 0 (2 > 0 и 3 > 0), то необходимо найти D и решить неравенство D < 0 относительно m.

а) D = 1 - 8mб) D = 4 - 12m

D < 0 D < 0

1 - 8m < 0 4 - 12m < 0

m > 1/8 m > 1/3

Ответ: при всех m > 1/8 (m > 1/3) неравенство «а» («б») верно при любых значениях х.

№ 222. Решите неравенство, считая, что а - данное число:

 

а) ах > 0,б) ax > 1,в) ax + 1 > 3,

г) ax - 8 < 11,д) ax > x,е) ax + 1 > x.

 

№230*. Найдите все значения t, при которых уравнение имеет два различных корня.

 

а) x² - 6x + t =0; б) (t + 3)x² + 2(t - 1)x + t = 0.

 

№ 231. Найдите все значения t, при которых уравнение не имеет действительных корней:

 

а) x² + 4x + 6t = 0, б) tx² - 2(t - 2)x + t = 0.

 

№239. (Повышенной трудности) При каких значениях t уравнение

x² - 2tx + t² - 1 = 0 имеет два действительных корня:

а) отрицательных; б) положительных; в) разных знаков, причем отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

4. Далее, в 9 классе желательно рассмотреть один - два примера уравнения с параметром и модулем.

Например, решить уравнение при всех значениях параметра а.

|x + 3| - a|x - 1| = 4.

Ответ:

 

a ∈ (-1; 1) ⇒x₁ = 1, x₂= (a + 7)/(a - 1);

a = 1 ⇒x₁ ≥ 1;

a > 1 ⇒x = 1.

Приложение. Список задач с параметрами, рекомендуемых для проведения дополнительных занятий по данной теме

Ниже предлагаются задачи с параметрами разного уровня сложности, для слабых и сильных учеников. Задачи с повышенной сложностью будут отмечены значком *.

Линейные уравнения

1. Решить уравнение при всех значениях параметра.

c - 2 = x + 2 (Какое значение будет иметь корень уравнения при ?

Ответ: х = с - 4,

⇒ .

2. Решить уравнение при всех значениях параметра.

x + 4 = a - 3 (Выяснить, при каких значениях параметра а корень уравнения равен -7)

Ответ: х = а - 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.

3. Решить уравнение при всех значениях параметра.

b - 8 + 2x = 2b (Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)

Ответ:

4. При каких значениях параметра а уравнение (а² - 6а + 5) = а - 1 имеет

1) один корень;

2) ни одного корня;

3) бесконечно много корней?

Ответ: 1) а ≠ 1; а ≠ 5;

2) а = 5;

3) а = 1.

Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 11).

5. (2 - х)а = х + 1.

Ответ: а ≠ -1 ⇒ x = (2a - 1)/(1+a).

6. (а² - 1)х = а + 1.

Ответ: а ≠ 1 ⇒ х = 1/(а - 1).

7.

Ответ: если а = 1 ⇒ ∅;

если а ≠ 1 ⇒ х = а.

8.

Ответ: если а = -2 ⇒ ∅;

если а ≠ -2 ⇒ x = 2.

9.

Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = (а + 8)/3.

10.

Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = 6/(4 - а).

11*.

Ответ: если а = 0 ⇒ R\{2};

если а = 1 ⇒ R\{2};

если а ≠ 0, а ≠ 1 ⇒ ∅.

Линейные уравнения с модулем.

Решить уравнение при всех значениях параметра (№1 - 6).

 

1. |x + a| = 2.

 

Ответ:

 

x = -a ± 2.

2. |x + 2| = a.

 

Ответ:

 

a < 0 ⇒ ∅;

a = 0 ⇒ x = -2;

a > 0 ⇒ x = -2 ± a.

3. |x + a| = 2 - а.

 

Ответ:

 

a > 2 ⇒ ∅;

а = 2 ⇒ х = -2;

4*. |3x - c| = |x + 2|.

 

Ответ:

 

с = -6 ⇒ x = -2;

c ≠ -6 ⇒ x₁ = 0,5(c + 2), x₂ = 0,25(c - 2).

5*. |x + 3| - a|x - 1| = 4.

 

Ответ:

 

a ∈ (-1; 1) ⇒x₁ = 1, x₂ = (a + 7)/(a - 1);

a = 1 ⇒x₁ ≥ 1;

a > 1 ⇒x = 1.

6*. |x - a| + |x - 2a| = 3a

 

Ответ:

 

a < 0 ⇒ ∅;

a = 0 ⇒ x = 0;

a > 0 ⇒ x₁ = 3a, x₂ = 0.

 

7. При каких значениях параметра а уравнение x + 2 = a|x - 2| имеет единственный корень? Найти это решение.

Ответ: a ∈ (-1; 1] ⇒x = (a - 2)/(a + 1).

(Возможен графический способ решения).

8. При каких значениях параметра b уравнение b|x - 3| = x + 1 имеет единственное решения? Найти это решение.

Ответ: b ∈ (-1; 1] ⇒x = (3b - 1)/(b + 1).

(Возможен графический метод решения).

9*. Выяснить, сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение

 

| x + 2 | = ax + 1.

Ответ: а = 0,5 ⇒

a ∈ (0,5; 1] ⇒∅;

а ∈ (1; +∞] ⇒ 1.

 

При каких значениях параметра а уравнение | x - a | - | 2x + 2 | = 3 имеет единственное решение? Найти это решение.

Ответ: a = -4, a = 2⇒ x = -1.

11*. При каких значениях параетра а уравнение | 2x + a | + 1 = | x + 3| имеет единственное решение?

Ответ: {-8; -4}.

12*. При всех а решить уравнение | x + 3 | - a| x - 1 | = 4. Определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Ответ: (1; +∞) при а = 1;

[-3; 1] при а = -1;

при а ∈ (-1; 1);

{1} при а ∈ (-∞; -1) ∪ (1; + ∞).

13*. Сколько решений имеет уравнение ax = |x| в зависимости от параметра?

Ответ:

 

а ≠ ±1 ⇒ х = 0;

а = 1 ⇒ х ∈ [0; +∞);

a = -1 ⇒ х ∈ (-∞; 0].

Линейные неравенства

1. Сравнить 3a и -а.

Ответ:

a < 0 ⇒ 3a < -a;

a = 0 ⇒ 3a = -a;

a > 0 ⇒ 3a > -a.

 

Для каждого значения параметра решить неравенство (№2 - 8).

 

2. cx > 2.

Ответ: с < 0 ⇒ x < 2/c;

a = 0 ⇒ ∅;

c > 0 ⇒ x > 2/c.

3. cx > -3.

Ответ: c < 0 ⇒ x < -3/c;

c = 0 ⇒ x ∈ R;

c > 0 ⇒ x > -3/c.

4. cx ≤ 2.

Ответ: c < 0 ⇒ x ≥ 2/c;

c = 0 ⇒ x ∈ R;

c > 0 ⇒ x ≤ 2/c.

5. (c - 2)x ≤ -5.

Ответ: с < 2 ⇒ x ≥ 5/(2 - c);

c = 2 ⇒ ∅;

c > 2 ⇒ x ≤ 5/(2 - c).

6. 3(2a - x) < ax + 1.

Ответ: с < 2 ⇒ x ≥ 5/(2 - c);

c = 2 ⇒ ∅;

c > 2 ⇒ x ≤ 5/(2 - c).

7*.

Ответ: b < 3 ⇒ x ∈ ((2b+1)/(b -1); 2);

b = 3 ⇒ ∅;

b > 3 ⇒ x ∈ (2; (2b + 1)/(b - 1)).

 

Линейные неравенства с модулем

 

1*. | x - 3a | - | x + a| < 2a.

Ответ: a ∈ (-∞; 0) ⇒ x ∈ (-∞; 2a);

a = 0 ⇒ ∅;

 a ∈ (0; +∞) ⇒ x ∈ (0; +∞).

2*. | x + 2| - | 2x + 8 | ≥ a.

Ответ: a < -4 ⇒ x ∈ [a - 6; -a - 6];

a ∈ [-4; 2) ⇒ x ∈ [a - 6; -a - 6];

a > 2 ⇒ x ∈ ∅;

a = 2 ⇒ x = -4.

Квадратные уравнения

 

1*. Для 0 < a < 1/4 решить уравнение:

 

Ответ:

2*. Найдите наибольшее из значений параметра, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие уравнению

Ответ:

3. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения

4x² - 28x + a = 0 равна 22,5?

Ответ: таких а не существует.

4. Найти все значения параметра а, для которых уравнение

x² - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 имеет два положительных корня.

Ответ: a ∈ [4; +∞).

5. Найти все а, при которых оба корня уравнения (2a + 3)x² + (a + 1)x + 4 = 0 заключены между -2 и 0.

Ответ:

6. При каких положительных значениях параметра а можно сократить дробь ?

Ответ: а = 4.

7. Решить уравнение:

 

(а - 1)x² + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0.

 

Ответ: если а < -4/5, то корней нет,

если а = 1, то х = -7/6,

если а ≥ -4/5,а ≠ 1, то

8. Решить уравнение

Ответ: если а = -1/3, то х = -2/3,

если а = 3/2, то х = -5/2,

если а = -4, то х = -8,

если а ≠ -1/3, 3/2, -4, то х₁ = 2а, х₂ = -а-1.

9. Решить уравнение:

Ответ: если a = 3, то х = -3,

если а = -3, то х =3,

если а ≠ ±3, то х₁ = 3, х₂ = -3.

10. Решить уравнение:

Ответ: если а = 1, а = 3,5, а = -1,5 то нет решений,

если а ≠1, а ≠ 3,5, а ≠ -1,5, то х =5/(а-1).

Квадратные неравенства

1. При каких значениях параметра а неравенство имеет решения?

Ответ: а <

2. При каких значениях а все пары чисел (х; у) удовлетворяющие неравенству, одновременно удовлетворяют и неравенству

Ответ: a = 0.

3. Для всех а ≥ 0 решить неравенство

Ответ: при а = 0, х ≤ 3,

при 0 < a < 1/12,

при а ≥ 1/12, х ∈ R.

4* При каких значениях параметра а множества решений неравенства

x² + ax - 1 < 0 будет интервал длины 5?

Ответ:

График квадратного трехчлена

1. Какие знаки имеют параметры a, b, и с, если известно, что график функции

y = ax² + bx + c проходит через точки (-4; 0), (0; -2), (-3; -2)?

Ответ: a > 0, b > 0, c < 0.

2. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x² - 2ax + a + 3 = 0 положительны?

Ответ: a < 3, 2 ≤ a ≤ 6.

3. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x² - 2ax + a + 3 = 0 меньше 3?

Ответ: a < 2, 15/4 < a ≤ 6.

4*. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x² - 2ax + a + 3 = 0 заключены в интервале (1; 3)?

Ответ: а = 2, 15/4 < a ≤ 6.