Тематический анализ учебников А.Г. Мордковича «Алгебра. Задачник 7,8,9»

7 класс

Учебник для 7 класса начинается с темы «Числовые и алгебраические выражения», которая содержит следующие задания №33-№35:

При каких значениях переменной имеют смысл выражения:

 ; ; .

Следующим заданием с параметрами можно называть упражнения из главы «Линейные уравнения с двумя переменными» (№827 - 831), например,

№ 828. Найдите значение коэффициента а в уравнении

ax + 5y - 40 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:

а) (3;2);б) (9;-1);в) (1/3; 0);г) (-2; 2,4).

В этой же главе присутствуют задания, в которых требуется выразить одну переменную через другую (№825, №826), эти задания, как уже говорилось выше, являются своего рода задачами с параметрами.

№ 825. Дано линейное уравнение с двумя переменными. Используя его, выразите каждую из переменных через другую:

а) 3a + 8b = 24;б) 12m - 3n = 48.

Параграф «Линейная функция и ее график» также содержит задания с параметрами, например,

№ 902. Найдите значение m, если известно, что график линейной функции

y = -5x + m проходит через точку:

а) N(1;2);б) K(0,5; 4);в) M(-7;8);г)P(1,2;-3).

№907. Как расположен в координатной плоскости xOy график линейной функции

y = kx + m, если известно, что:

а) k > 0, m = 0;б) k < 0, m = 0?

В данном случае приведены несколько заданий с параметрами в главе «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», например задания:

№ 1075. Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 8y = 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел:

а) (2;1);б) (-3;-2).

№ 1076. Дана система уравнений ,

Известно, что пара чисел (5;6) является ее решением. Найдите значения a и b.

8 класс

В учебнике для 8 класса по теме «квадратичная функция», помещены сравнительно простые задания № 483 - № 488, связанные с графиком квадратичной функции. Например:

№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y=x²+4x+c пересекает ось ординат в точке А(0;2).

Далее следует более сложные задания с похожим содержанием (№ 498 - № 503). Например:

№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А(1;-2) является вершиной параболы y=x²+bx+c?

После данной темы рассмтривается графическое решение квадратного уравнения, и даются упражнения, где параметр является правой частью уравнения (№ 518 - № 522). Например:

№ 518. При каком значении p уравнение x²-2x+1=p имеет один корень?

№ 522. При каких значениях p уравнение x²+6x+8=p:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Считаю, что одним из заданий с параметром может служить следующее задание, которое способствует навыку нахождения множества допустимых значений параметра (или переменной).

№ 543. При каких значениях а имеет смысл выражение:

а) ;б) ;в) -; г) ?

В главе 4 «Квадратные уравнения» понятие параметра впервые появляется в условии заданий №792-795. Например:

№ 793. При каких значениях параметра p уравнение (2p - 3)x² + (3p - 6)x +p² - 9 = 0 является:

а) приведенным квадратным уравнением;

б) неполным неприведенным квадратным уравнением;

в) неполным приведенным квадратным уравнением;

г) линейным уравнением?

Затем в §20 «Формулы корней квадратного уравнения» в теоретической части дается определение параметра и уравнения с параметром на примере следующего уравнения: x² - (2p + 1)x + (p² + p - 2) =0.

Это уравнение отличается от всех рассмотренных до этих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения и считаются уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) p входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.

Когда учащиеся решают квадратные уравнения с вычислением дискриминанта, им предлагаются упражнения 820, 821, 838 - 841. Например:

№ 838. ИЗ данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:

а) x² + px = 0; в) x² + px + 5 = 0;

б) x² - px - 5 = 0г) px² - 2 = 0.

Эти задания сопровождаются заданиями на доказательство (№ 821, 842), например:

№ 842. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x² - px + p - 2 = 0 имело бы только один корень.

При прохождении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом решается упражнение:

№ 953. Решите уравнение:

а) x² - 2(a - 1)x + a² - 2a - 3 = 0

б) x² + 2(a + 1)x + a² + 2a - 8

Когда учащися знакомятся с теоремой Виета, выполняются упражнения № 971 и № 972.

№ 971. При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения x² + (p² + 4p - 5)x - p = 0 равно нулю?

В упражнениях № 999 - 1005 помещены похожие задачи:

№ 1000. Дано уравнение x² - (p + 1)x + (2p² + - 9p - 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.

Заметим, что задания с параметрами встречаются и в помещенной в учебник контрольной работе №4, а именно:

· докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение x² - 2kx + k - 3 = 0 имеет только один корень.

· дано уравнение x² + (p² - 3p - 11)x + 6p = 0. Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра p и корни уравнения.

В §35. «Решение квадратных неравенств» помещены упражнения № 1360 - 1365 с заданием решить квадратное уравнение, которое сводится к решению неравенств.

№ 1360. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x² - 2px - p + 6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

А в № 1366 и № 1367 задания связаны непосредственно с решением неравенств.

№ 1366. При каких целочисленных значениях параметра p неравенство

(x² - 2)(x - p) < 0 имеет три целочисленных решения?

9 класс

В учебнике для 9 класса упражнения с параметрами приводятся сначала в § 1 «Линейные и квадратные неравенства», в № 11, 17 - 19.

№ 11. При каких значениях параметра p квадратное уравнение

3x² - 2px - p + 6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

В § 2 «Рациональные неравенства» заданием с параметром является задание № 50: Найдите такое целое зачение параметра p, при котором множество решений неравенства x(x + 2)(p - x) ≥ 0 содержит:

а) два целых числа; в) три целых числа;

б) четыре целых числа;г) пять целых чисел.

В § 2 «системы рациональных неравенств» задачами с параметрами являются задачи № 85 - 87.

№ 86. Укажите все значения параметра p, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) (5; +∞); б) [3; +∞).

Последний раз задания с параметрами встречаются в главе «Системы уравнений» (№ 117 - 119).

№ 118. При каком значении параметра p система уравнений

имеет одно решение?[15][16][17]

В данном комплекте учебников и задачников достаточно хорошо и полно подобраны задачи с параметрами в каждом классе основной школы. В учебнике 7 класса большое внимание уделяется пропепедевтике уравнений с параметрами. В учебнике для 8 класса при прохождении темы квадратные уравнения» дается достаточно ясное определение параметра и уравнения с параметром.