Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010500 .62“Прикладная математика и информатика” (бакалавриат)

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями

2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы.

3. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.

4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.

5. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы.

6. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка.

7. Предел последовательности и предел функции в точке.

8. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний.

9. Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода.

10. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.

11. Формула Лагранжа конечных приращений.

12. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.

13. Схема исследования функции и построения ее графика.

14. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

15. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.

16. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.

17. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница.

18. Дифференцирование интегралов с параметром.

19. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.

20. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).

21. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство.

22. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство имножество. Критерий компактности в .

23. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.

24. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.

25. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.

26. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности.

27. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.

28. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.

29. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.

30. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.

31. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.).

32. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.

33. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.

34. Метод разделения переменных.

35. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.

36. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.

37. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.

38. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.

39. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.

40. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.

41. Классификация интерфейсов вычислительных систем.

42. Основные функции операционной системы.

43. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Деревья (бинарные, -деревья).

44. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.

45. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Коллекции.

46. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.

47. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.

48. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.

49. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.

50. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.

51. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.

52. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.

53. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.

54. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1981.

2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1968.

3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.

4. Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1965.

5. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: Наука, 1979.

6. Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. / С.М. Никольский. – М.: Наука, 1975.

7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970.

8. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В.А. Зорич. – М.: Наука, 1981.

9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.

10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1985.

11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1989.

12. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Наука, 1986.

13. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. – М.: Наука, 1982.

14. Ивченко, Г.И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
Г. И.  Ивченко, Ю. И. Медведев. –  М.: Высш. шк., 1984.

15. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.

16.  Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

17. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1971.

18. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1982.

19. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. – М.: Наука, 1970.

20. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.

21. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.

22. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977.

23. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н.Вирт. – М.: Мир, 1989.

24. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений / А.Д. Хоменко, В.М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2000.

25. Карпова, Т.C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.

26. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 1999.