Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010300.62 “Математика. Компьютерные науки” (бакалавриат)

1. Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями

2. Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях.

3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.

4. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы.

5. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка.

6. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний.

7. Предел последовательности и предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

8. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Формула Тейлора.

9. Схема исследования функции и построения ее графика.

10. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

11. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции.

12. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой.

13. Первообразная функции, определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Кратные интегралы. Поверхностные и криволинейные интегралы.

14. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).

15. Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство.

16. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство имножество. Критерий компактности в .

17. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.

18. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.

19. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана.

20. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование.

21. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка.

22. Линейные ДУ -гo порядка с постоянными коэффициентами.

23. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка.

24. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач.

25. Метод разделения переменных.

26. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.

27. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.

28. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.

29. Схема построения разностного решения дифференциальных задач.

30. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.

31. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.

32. Классификация интерфейсов вычислительных систем.

33. Основные функции операционной системы.

34. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Деревья (бинарные, -деревья).

35. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.

36. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Коллекции.

37. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения.

38. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.

39. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.

40. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных.

41. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.

42. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.

43. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.

44. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.

45. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

46. Основные криптосистемы; их сравнение.

47. Классы шифров.

48. Алгоритмы и их сложности. Классы P и NP.

49. Задача о максимальном потоке и алгоритмы ее решения.

50. Задача о минимальном остове. Алгоритмы Прима и Краскала.

51. Теория формальных грамматик.

52. Основные подходы при программировании с разделяемыми переменными: задача критической секции, барьеры, семафоры, мониторы.

53. Основные подходы при распределенном программировании: обмен сообщениями, удаленный вызов процедур, рандеву.

54. Модель взаимодействия открытых систем OSI. Функции и назначение уровней.

55. Стек протоколов TCP/IP. Назначение и принципы функционирования основных протоколов.

56. Метод резолюций.

57. Логический вывод в продукционных системах.

58. Методы построения непрерывных моделей по дискретному набору данных.

 

Список литературы

1. Беклемишев, Р. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Р.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1981.

2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1968.

3. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.

4. Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1965.

5. Ершов, Ю. Л. Математическая логика / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – М.: Наука, 1979.

6. Никольский, С. М. Курс математического анализа: в 2 т. / С.М. Никольский. – М.: Наука, 1975.

7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970.

8. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 т. / В.А. Зорич. – М.: Наука, 1981.

9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.

10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1985.

11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1989.

12. Боровков, А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. – М.: Наука, 1986.

13. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. – М.: Наука, 1982.

14. Ивченко, Г. И. Математическая статистика: учеб. пособие. /
Г. И.  Ивченко, Ю. И. Медведев. –  М.: Высш. шк., 1984.

15. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М.: Физматлит, 2003.

16.  Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

17. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1971.

18. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – М.: Наука, 1982.

19. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. – М.: Наука, 1970.

20. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения /

В. И. Арнольд. – М.: Наука, 1984.

21. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных /

В. П. Михайлов. – М.: Наука, 1983.

22. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977.

23. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт. – М.: Мир, 1989.

24. Хоменко, А. Д. Базы данных: Учеб. для высших учебных заведений / 

А. Д. Хоменко, В. М. Цыганков, М.Г. Мальцев. – СПб: КОРОНА принт, 2000.

25. Карпова, Т. C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т.C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.

26. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 1999.

27. Быкова, В. В. Дискретная математика с использованием ЭВМ / В.В. Быкова. – Красноярск, 2006.

28. Емеличев, В. А. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев. – М.: Наука, 1990.

29. Алферов, А. П. Основы криптографии / А. П. Алферов, А. Ю. Зубов,

А. С. Кузьмин, А. В. Черемушкин. – М.: Гелиос АРВ, 2001.

30. Лорьер, Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта / Ж.-Л. Лорьер. – М.: Мир, 1991.

31. Уотермен, Д. Руководство по экспертным системам / Д. Уотермен. – М.: Мир, 1989.

32. Олифер, В. Р. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы /

В. Р. Олифер, Н. А. Олифер. – СПб.: Питер, 2001.

33. Грегори, Н. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования / Н. Грегори, Эндрюс. – М.: Вильямс, 2003.

34. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин,

Вл. В. Воеводин. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

35. Немнюрин, С. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С. Немнюрин, О. Стесик. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.