Выявление сезонной волны в потреблении платных услуг населением

 

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определённые, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. В статистике периодические колебания, которые имеют определённый и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания», или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности ( I_s ). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы. Наш ряд динамики содержит определённую тенденцию в развитии, поэтому прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

Для выявления наличия и характера тенденции в расходах домохозяйств на оплату услуг проведём анализ временного ряда данного показателя в поквартальной динамике за период с 2001г по 2006г (Таблица 2.9).

Таблица 2.9 – Объём платных услуг в поквартальной динамике.

Квартал	Объём платных услуг, млн.руб.
	2001	2002	2003	2004	2005	2006	Сумма за 6 лет
I	1446,1	1914,9	2599,5	3269,3	4340,8	4930,8	18501,4
II	1626,1	2103,9	2870,4	3582,4	4831,5	5509,6	20523,9
III	1960,1	2602,9	3242,6	4118,8	5101,2	6074,4	23100
IV	2002,2	2709,4	3415,3	4307,6	5308,9	6356,1	24099,5
сумма:	7034,5	9331,1	12127,8	15278,1	19582,4	22870,9	86224,8

 

Проведённое сглаживание динамического ряда представлено графически на рисунке 2.3.

Рис. 2.3 – Результаты сглаживания динамического ряда расходов на оплату услуг.

 

Проведем аналитическое выравнивание ряда динамики. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде временных функций:

Аналитическое выравнивание в каждом отдельном случае может быть осуществлено с помощью той или иной математической функции.    Мы применим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида:

,

где - расчетные показатели ряда динамики,

   a и b - параметры функции,

   t –время.

Параметры a и b рассчитываются по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид:   

 

;

Для упрощения расчетов принимают . Так, система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

 

                откуда              

                                   ,

 

При этом параметр а – это средний уровень ряда, b – тренд, тенденция.

Получаем уравнение для выравнивания динамического ряда:

_t=3592,7+268,1·t

Такое уравнение называется трендом (рис. 2.4). Оно показывает, что в среднем каждый квартал объём потребления платных услуг населением закономерно возрастает на 268,1 млн. руб., начиная с выравненного исходного уровня 3592,7 млн. руб.

Для оценки уравнения рассчитываем корреляционное отношение и коэффициент детерминации, по которым судят о близости аналитических рядов к эмпирическому:

                   

,

 

 

где R- корреляционное отношение;

D- коэффициент детерминации.

Расчеты коэффициентов корреляции и детерминации дают следующие результаты:

,

D=100* 0,987631²=97,54%.

По коэффициентам корреляции и детерминации можно сделать заключение: аналитический ряд, выровненный по прямой, очень близок к эмпирическому. Следовательно, прямая точно воспроизводит характер изменения объёма платных услуг.

 

Рис. 2.4 – Динамика объёма платных услуг

Найденные параметры рассчитывались по данным таблицы 2.10.

Таблица 2.10. - Исходные и расчетные данные для аналитического выравнивания объёма платных услуг населению Оренбургской области

Период	Объём платных услуг, млн. руб.	время t	t^2	yt	=3592,7+268,1*t
1 кв. 2001г	1446,1	1	1	1446,1	3860,8
2 кв. 2001г	1626,1	2	4	3252,2	4128,9
3 кв. 2001г	1960,1	3	9	5880,3	4397,0
4 кв. 2001г	2002,2	4	16	8008,8	4665,1
1 кв. 2002г	1914,9	5	25	9574,5	4933,2
2 кв. 2002г	2103,9	6	36	12623,4	5201,3
3 кв. 2002г	2602,9	7	49	18220,3	5469,4
4 кв. 2002г	2709,4	8	64	21675,2	5737,5
1 кв. 2003г	2599,5	9	81	23395,5	6005,6
2 кв. 2003г	2870,4	10	100	28704	6273,7
3 кв. 2003г	3242,6	11	121	35668,6	6541,7
4 кв. 2003г	3415,3	12	144	40983,6	6809,8
1 кв. 2004г	3269,3	13	169	42500,9	7077,9
2 кв. 2004г	3582,4	14	196	50153,6	7346,0
3 кв. 2004г	4118,8	15	225	61782	7614,1
4 кв. 2004г	4307,6	16	256	68921,6	7882,2
1 кв. 2005г	4340,8	17	289	73793,6	8150,3
2 кв. 2005г	4831,5	18	324	86967	8418,4
3 кв. 2005г	5101,2	19	361	96922,8	8686,5
4 кв. 2005г	5308,9	20	400	106178	8954,6
1 кв. 2006г	4930,8	21	441	103546,8	9222,7
2 кв. 2006г	5509,6	22	484	121211,2	9490,8
3 кв. 2006г	6074,4	23	529	139711,2	9758,9
4 кв. 2006г	6356,1	24	576	152546,4	10027,0
Сумма:	86224,8	300	4900	1313668	166653,4
Среднее:	3592,7

 

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычисления индексов сезонности следующий (таблица 2.7):

1. По соответствующему полиному вычислим для каждого квартала выравненные уровни на момент времени (t) (гр. 2);

2. Определим отношения фактических квартальных данных (y_i) к соответствующим выравненным данным ( ) в процентах (гр. 3):

3. Найдём средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноимённым периодам в процентах (гр. 4):

,

где n - число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

.

Расчёт закончим проверкой правильности вычислений индексов. Так как средний индекс сезонности для всех кварталов должен быть равен: , то сумма полученных индексов по квартальным данным равна 1196,7, а сумма по четырём кварталам – 199,4.

В результате проведённых расчетов в таблице 2.11 получили ряд индексов (гр. 4), характеризующих сезонную волну объёма платных услуг (в процентах к среднегодовому объёму, принятому за 49,9%) по кварталам.

Таблица 2.11 – Расчёт сезонной волны объёма потребления платных услуг населением Оренбургской области по кварталам

Год и квартал	Объём платных услуг, млн. руб.	Теоретические уровни =3592,7+268,1*t	Индекс сезонности по каждому кварталу года	Индекс сезонности по одноименным кварталам
А	1	2	3	4
2001
I	1446,1	3860,8	37,5	45,4
II	1626,1	4128,9	39,4	48,3
III	1960,1	4397	44,6	52,8
IV	2002,2	4665,1	42,9	52,9
2002
I	1914,9	4933,2	38,8	45,4
II	2103,9	5201,3	40,4	48,3
III	2602,9	5469,4	47,6	52,8
IV	2709,4	5737,5	47,2	52,9
2003
I	2599,5	6005,6	43,3	45,4
II	2870,4	6273,7	45,8	48,3
III	3242,6	6541,7	49,6	52,8
IV	3415,3	6809,8	50,2	52,9
2004
I	3269,3	7077,9	46,2	45,4
II	3582,4	7346	48,8	48,3
III	4118,8	7614,1	54,1	52,8
IV	4307,6	7882,2	54,6	52,9
2005
I	4340,8	8150,3	53,3	45,4
II	4831,5	8418,4	57,4	48,3
III	5101,2	8686,5	58,7	52,8
IV	5308,9	8954,6	59,3	52,9
2006
I	4930,8	9222,7	53,5	45,4
II	5509,6	9490,8	58,1	48,3
III	6074,4	9758,9	62,2	52,8
IV	6356,1	10027	63,4	52,9
Итого:	86224,8	166653,4	1196,7	1196,7

 

Графически сезонная волна представлена на рисунке 2.4.

Рис. 2.4 – Модель сезонных колебаний объёма платных услуг

Таким образом, изучив развитие объёма платных услуг за 6 лет, мы установили, что изменения параметров объёма услуг происходят как бы волнообразно, т.е. проявляется повторяемость тенденций развития. Пик сезонности наблюдается в третьем и четвёртом кварталах каждого года (это может быть вызвано ростом расходов на оплату санаторно-курортных услуг, услуг учреждений культуры, образовательных услуг).

 

Построим аддитивную модель временного ряда. Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид аддитивной модели выглядит так:

 

.

 

1) Проведём выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Найдём оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (Таблица 2.12.).

Таблица 2.12 – Расчёт оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

№ квартала, t	Объём платных услуг, млн.руб.	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	1446,1	-	-	-
2	1626,1	7034,5	1758,625	-
3	1960,1	7503,3	1875,825	1817,225	142,875
4	2002,2	7981,1	1995,275	1935,55	66,65
5	1914,9	8623,9	2155,975	2075,625	-160,725
6	2103,9	9331,1	2332,775	2244,375	-140,475
7	2602,9	10015,7	2503,925	2418,35	184,55
8	2709,4	10782,2	2695,55	2599,7375	109,6625
9	2599,5	11421,9	2855,475	2775,5125	-176,0125
10	2870,4	12127,8	3031,95	2943,7125	-73,3125
11	3242,6	12797,6	3199,4	3115,675	126,925
12	3415,3	13509,6	3377,4	3288,4	126,9
13	3269,3	14385,8	3596,45	3486,925	-217,625
14	3582,4	15278,1	3819,525	3707,9875	-125,5875
15	4118,8	16349,6	4087,4	3953,4625	165,3375
16	4307,6	17598,7	4399,675	4243,5375	64,0625
17	4340,8	18581,1	4645,275	4522,475	-181,675
18	4831,5	19582,4	4895,6	4770,4375	61,0625
19	5101,2	20172,4	5043,1	4969,35	131,85
20	5308,9	20850,5	5212,625	5127,8625	181,0375
21	4930,8	21823,7	5455,925	5334,275	-403,475
22	5509,6	22870,9	5717,725	5586,825	-77,225
23	6074,4
24	6356,1

 

2) Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (Таблица 2.13). Для этого найдём средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

 

Таблица 2.13 – Расчёт значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	2001	1446,1	1626,1	1960,1	2002,2
	2002	1914,9	2103,9	2602,9	2709,4
	2003	2599,5	2870,4	3242,6	3415,3
	2004	3269,3	3582,4	4118,8	4307,6
	2005	4340,8	4831,5	5101,2	5308,9
	2006	4930,8	5509,6	6074,4	6356,1
Итого за i-й квартал (за все годы)		18501,4	20523,9	23100	24099,5
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		4625,35	5130,975	5775	6024,875
Скорректированная сезонная компонента, Si		-763,7	-258,075	385,95	635,825

 

Для данной модели имеем:

4625,35+5130,975+5775+6024,875=21556,2

Определим корректирующий коэффициент:

 

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между её средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

- 763,7 - 258,075 + 385,95 + 635,825 = 0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁= - 763,7

   II квартал: S₂= - 258,075

                                      III квартал: S₃= 385,95

IV квартал: S₄= 635,825

 

3) Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая её значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр.4 табл. 2.14). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 2.14 – Расчёт выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t	yt	Si	T+E=yt-Si	T	T+S	E=yt-(T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1446,1	-763,7	2209,8	1379,4	615,7	830,4	689564,2
2	1626,1	-258,075	1884,175	1571,9	1313,825	312,275	97515,68
3	1960,1	385,95	1574,15	1764,4	2150,35	-190,25	36195,06
4	2002,2	635,825	1366,375	1956,9	2592,725	-590,525	348719,8
5	1914,9	-763,7	2678,6	2149,4	1385,7	529,2	280052,6
6	2103,9	-258,075	2361,975	2341,9	2083,825	20,075	403,0056
7	2602,9	385,95	2216,95	2534,4	2920,35	-317,45	100774,5
8	2709,4	635,825	2073,575	2726,9	3362,725	-653,325	426833,6
9	2599,5	-763,7	3363,2	2919,4	2155,7	443,8	196958,4
10	2870,4	-258,075	3128,475	3111,9	2853,825	16,575	274,7306
11	3242,6	385,95	2856,65	3304,4	3690,35	-447,75	200480,1
12	3415,3	635,825	2779,475	3496,9	4132,725	-717,425	514698,6
13	3269,3	-763,7	4033	3689,4	2925,7	343,6	118061
14	3582,4	-258,075	3840,475	3881,9	3623,825	-41,425	1716,031
15	4118,8	385,95	3732,85	4074,4	4460,35	-341,55	116656,4
16	4307,6	635,825	3671,775	4266,9	4902,725	-595,125	354173,8
17	4340,8	-763,7	5104,5	4459,4	3695,7	645,1	416154
18	4831,5	-258,075	5089,575	4651,9	4393,825	437,675	191559,4
19	5101,2	385,95	4715,25	4844,4	5230,35	-129,15	16679,72
20	5308,9	635,825	4673,075	5036,9	5672,725	-363,825	132368,6
21	4930,8	-763,7	5694,5	5229,4	4465,7	465,1	216318
22	5509,6	-258,075	5767,675	5421,9	5163,825	345,775	119560,4
23	6074,4	385,95	5688,45	5614,4	6000,35	74,05	5483,403
24	6356,1	635,825	5720,275	5806,9	6442,725	-86,625	7503,891

 

4) Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведём аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа                                                              1186,941

Коэффициент регрессии                                      192,4607

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 456,7025

R-квадрат                                                                   0,902753

Число наблюдений                                                24

Число степеней свободы                                      22

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

.

Подставляя в это уравнение значения t=1,…,24, найдём уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 2.14).График уравнения тренда приведен на рис. 2.5.

Рис. 2.5 – Объём потребления платных услуг населением Оренбургской области (фактические, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней рядя)

 

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+ S ) представлены на рис. 2.5.

6) В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчёт ошибки производится по формуле:

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 2.14.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 4588705. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 49592128, эта величина составляет 9,25%:

100 - (1-4588705/4959212)*100=9,25

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 90,75% общей вариации уровней временного ряда объёма потребления платных услуг населением за последние 24 квартала.

 

Прогнозирование по аддитивной модели.

Предположим, требуется дать прогноз потребления платных услуг населением Оренбургской области в течение следующего года.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объём платных услуг, потреблённых в течение следующего года (2007), рассчитывается как сумма объёмов потребления платных услуг в I, II, III и IV кварталах 2007 года, соответственно F ₂₅ , F ₂₆ , F ₂₇  , F _28.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

Получим:

;

;

;

.

Значения сезонной компоненты равны:

S₁= - 763,7 (I квартал);

S₂= - 258,075 (II квартал);

S₃= 385,95 (III квартал);

S₄= 635,825 (IV квартал).

Таким образом,

Прогноз объёма потребления платных услуг населением на ближайший 2007 год составит:

(5235,7 + 5933,825 + 6770,35 + 7212,725) = 25152,6 млн.руб.

 

 

3. Корреляционно-регрессионный анализ и прогнозирование