Решения в целых числах значений X , Y , Z .

Из приведенного доказательства видно, что свойство замкнутости цикла последовательного вычитания сторон треугольника первично по отношению к теореме Пифагора.

Из формул (4), (5), (6) следует, что для любой точки в прямоугольной системе координат объективно можно записать

                                        X = n² + 2mn                   (9)

                                        Y = 2m² + 2mn               (10)

                                        Z = n² + 2mn + 2m² .      (11)

Автор считает , что замкнутость цикла взаимного вычитания сторон треугольника ( теорема 1), формулы (1 ÷ 3) и формула c ² = 2 bd  и являются тайной теоремы Пифагора и это было известно древним. Сохранение этих формул в тайне позволяет решать многие вопросы в математике, не раскрывая основных базовых соотношений и формул, например, составить таблицу (дерево) основных пифагоровых треугольников и др..

В современной математике для нахождения основных пифагоровых троек

( основных ПТ) используют формулы

                  X = 2 pq , Y = p ² – q ² , Z = p ² + q ²

 ( см., например, О. Оре. Приглашение в теорию чисел. Изд.Наука. М.1980.стр.59).

Внимание! 1.Формулы (9), (10), (11) являются аналитическим выражением

 теоремы цикличности значений сторон прямоугольного треугольника.

Для любой точки в прямоугольной системе координат, стороны координатного треугольника объективно выражаются этими формулами.

                                Таблица вариантов значений параметров mn

На сайте fgg - fil 1. narod . ru / fmat 2. doc показано, что параметры mn могут быть представлены в виде восьми вариантов значений

Автор считает , что замкнутость цикла взаимного вычитания сторон треугольника ( теорема 1), формулы (1 ÷ 3) и формула c ² = 2 bd  и являются тайной теоремы Пифагора и это было известно древним. Сохранение этих формул в тайне позволяет решать многие вопросы в математике, не раскрывая основных базовых соотношений и формул, например, составить таблицу (дерево) основных пифагоровых треугольников и др..

                                 

                                  Выводы

В системе mn параметров значения сторон прямоугольного треугольника объективно могут быть представлены в виде формул

                   X= n²+2mn, Y=2m²+2mn, Z= n²+2mn+ 2m²

                   Z – X = 2m² , Z + X = 2·( n + m )²

                   Z – Y = n² , Z + Y = ( n + 2m )²

В прямоугольной системе координат местоположение точки однозначно определяется формулами п.1

Представление координат произвольной точки в виде функций от mn параметров открывает ряд новых возможностей в математике.

Подтверждение знания древними цикличности сторон треугольника следует искать на старых рисунках и орнаментах.

Подробности на сайте http://fgg-fil1.narod.ru/fmattco.doc

       

                              Итерационные формулы

Формулы (получены автором)

                                           X₁₁=2Z₀+2X₀+Y₀

                                      E₁= : Y₁₁=2Z₀+X₀+2Y₀                                            (12)

                                               Z₁₁=3Z₀+2X₀+2Y₀

                                              X₁₂=2Z₀ -X₀+2Y₀

                                     E₂= : Y₁₂=2Z₀ -2X₀ +Y₀                                               (13)

                                              Z₁₂=3Z₀-2X₀+2Y₀

                                              X₁₃=2Z₀ +2X₀ -Y₀

                                    E₃= : Y₁₃=2Z₀ +X₀ -2Y₀                                                 (14)

                                             Z₁₂=3Z₀+2X₀ -2Y₀

                                           

                                    

                                     X₁₄= I2Z₀ -X₀-2Y₀ I

                                 E₄= : Y₁₄= I2Z₀ -2X₀ -Y₀ I                                                 (15)

                                           Z₁₄=3Z₀-2X₀-2Y₀

Итерационное применение этих формул к значениям X_0,Y₀,Z₀ и далее к вновь получаемым значениям элементов позволяет построить дерево упорядоченных троек X_i,Y_i,Z_i (Упорядоченное множество точек в системе координат, Упорядоченное множество кристаллов ) и получить новые результаты в математике при решении практических задач (Дисперсия данных одиночного эксперимента,Эллипс допустимых значений нулей кубического многочлена и т.д.).

Подробности на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

               Практическое использование

1.             Формулы (1), (2), (3)

Эти формулы – аналитическое представление теоремы цикличности для любого треугольника. Ранее было рассмотрено выражение Z ² = ( b + c + d )². Откуда

→ Z ² = X ² + Y ²  + ( 2 bd – c ² ) → c ² = 2 bd , если исходный треугольник прямоугольный. Поэтому, для любой точки в прямоугольной системе координат, всегда имеем c ² = 2 bd .

Задача1. Имеем уравнение Z ³ = X ³ + Y ³ . Определить наличие решений в целых числах для исходного уравнения.

Решение. Произведем замену. Запишем Z ³ = ( b + c + d )³

  → Z ³ = ( b + c )³ + 3( b + c )² d + 3( b + c ) d ² + d ³ → Z ³ = X ³ + 3( b + c )² d +3( b + c ) d ² + d ³

Для наличия решения необходимо иметь Y ³ = 3( b + c )² d +3( b + c ) d ² + d ³

→                  ( d + c )³ = 3( b + c )² d +3( b + c ) d ² + d ³

 → d ³ + 3с d ² + 3 dc ² + c ³ = 3 b ² d + 6 bdc + 3 dc ² + 3 bd ² + 3 cd ² + d ³ → c ³ = 3 b ² d + 6 bdc

  Для прямоугольного треугольника всегда имеем c ² = 2 bd

→    с(2 bd ) = 3 b ² d + 6 bdc → 3 b ² d = - 4 bdc → с = - .

Отрезок с не может быть отрицательным, поэтому можно сделать вывод

Вывод

Уравнения Z³ = X³ +Y³, в качестве прямоугольного треугольника, не имеет

решения в целых числах значений X , Y , Z .

Задача2. Имеем уравнение Zⁿ = Xⁿ + Yⁿ . Определить наличие решений в целых числах для исходного уравнения.

Решение. Произведем замену. Запишем Zⁿ = ( b + c + d ) ⁿ

→                        Zⁿ = ( b + c ) ⁿ + A ( b , с, d ) ,

где A ( b , с, d )- остаток от бинома Ньютона.Для наличия решения, необходимо иметь равенство A ( b , с, d ) = ( d + с ) ⁿ . Это возможно только при n = 2.

 Выводы

1.Уравнения Zⁿ = Xⁿ +Yⁿ, в качестве прямоугольного треугольника, не имеет