О проблеме сложных уравнений состояния. 

    При решении практических задач зачастую приходится иметь дело с ситуацией, когда уравнение состояния среды задается не в виде идеального газа (1.4), а описывается гораздо более сложными зависимостями.

    Опыт работы с методом С.К.Годунова выявил особую роль так называемых двучленных уравнений состояния:

(8.1)            .

В отличие от (1.4), оно содержит три параметра . Удобно вместо параметра r₀ использовать параметр р₀, определяемый формулой:

(8.2)          

    Для дальнейшего будут нужны также соответствующие (8.1) формулы для скорости звука с и энтропии s:

(8.3)             ,    .

    Очевидно, что идеальный газ (1.4) будет частным случаем ( ).

    Нетрудно убедиться, что все изложенное в §§ 1-4 реализуется и для уравнения состояния (8.1) после внесения очевидных изменений в те формулы, которые его используют. Описание в [2] на стр.110-115 задачи о распаде разрыва это подтверждает, поскольку алгоритм был разработан сразу именно для двучленного уравнения состояния (8.1).

    Поэтому обратимся сразу к § 5, где это еще предстоит сделать.

    Замена идеального газа (1.4) на (8.1) приводит к тому, что уравнение (5.7) придется заменить на следующее:

            .

    Полученное уравнение тоже является квадратным относительно u и, с учетом (8.2), приводится к виду:

(8.4)   

Его дискриминант

(8.5)  

тоже должен быть неотрицательным. Формулы (5.11) заменяются на следующие:

(8.6)  

Нужный корень  или  определяется так же, как в § 5, с привлечением параметров  газа-«напарника». При этом условия (5.14) заменяются на следующие:

           ,         ,

а условие неубывания энтропии (5.15) формулируется в виде:

(8.7) 

Присутствие  в формуле (8.7) могло бы привести к изменению важной формулы (7.5), которая столь громоздко исследовалась. Но этого не произойдет: величина  назначается формулой (7.2), в которой  участвует лишь через . Поскольку

                         ,

как и было ранее, если полагать

(8.8)      ,

то формула (7.5) сохранит свой вид. Следовательно, все изменения сводятся только к определению величины m формулой (8.8) вместо прежней

                     в случае идеального газа (1.4).

    Это позволяет в случае двучленного уравнения состояния (8.1) воспользоваться всеми результатами проведенных в § 7 исследований, имея лишь в виду определение (8.8).

    Упомянутая выше особая роль двучленного уравнения состояния состоит в следующем. Как выяснилось при многолетней эксплуатации метода С.К.Годунова, при работе с уравнениями состояния, которые задаются сложными зависимостями , оказывается полезным следующий прием, предложенный А.В.Забродиным. Для решения задачи о распаде разрыва эти сложные зависимости аппроксимируются локально двучленными уравнениями состояния (8.1). Формулы для вычисления параметров  можно найти, напр., в [3] на стр.177.

    Такой прием успешно используется в практике расчетов, но не является универсальным. Трудности возникают, если для параметров , вычисленных указанным способом, не выполняются требования

(8.9)      ,     ,     .

    Как указано в [3] на стр.179, «двучленная аппроксимация может быть использована для уравнения состояния общего вида при условии, что оно удовлетворяет условиям нормального газа… Для других типов уравнений состояния решение задачи Римана может быть неединственным, иметь неклассическую структуру или даже нарушить гиперболичность системы уравнений… В этих случаях использование двучленной аппроксимации может, вообще говоря, давать посторонние или физически неприемлемые решения». Есть ли выход из такой ситуации? Есть.

    Сейчас уместно упомянуть об универсальном подходе к решению задачи о распаде разрыва в случае сколь угодно сложных уравнений состояния, изложенном в небольшой монографии [9], изданной в 1970 году. Правда, этот подход требует организации довольно сложного «хозяйства», и его рассмотрение выходит за рамки настоящей работы.

    Еще одна проблема связана с тем, что уравнения состояния могут не удовлетворять термодинамическому тождеству. В таком случае для них не может быть определена энтропия, а, следовательно, теряет смысл постановка вопроса о ее контроле.

    В качестве конкретного примера можно привести реализацию уравнений состояния, заданных в табличной форме в виде зависимостей

(8.10)        ,     , где Т – температура.

    В работе [10] эти таблицы аппроксимировались независимыми билинейными функциями вида

(8.11)        ,    

со своими коэффициентами в каждой ячейке таблиц. При этом, за исключением случайных ситуаций  , не выполнено термодинамическое тождество (см. [11], стр.6).

    В работах автора [11-12] предложен громоздкий, но вполне реализуемый путь преодоления этого принципиального затруднения. Уравнение состояния в отдельной табличной ячейке конструируется как линейная комбинация частных решений, удовлетворяющих условию термодинамического согласования. Чтобы такая комбинация обеспечивала нужные табличные значения функций (8.10) в четырех углах ячейки, она должна содержать 8 свободных параметров. При удачном выборе частных решений для вычисления параметров выписываются явные формулы.

    Поскольку для используемых частных решений энтропия определена, она будет определена и для построенного решения. Это открывает дорогу для реализации энтропийного контроля, описанного в настоящей работе.

    Для уравнений (8.11), возникающих при реализации табличных данных, гипотетически возможен и другой путь. Из уравнения для энергии e выражаем температуру Т:

           

и подставляем в уравнение для давления:

(8.12) 

    Далее полученное уравнение состояния  с помощью упомянутого выше алгоритма локальной аппроксимации «превращаем» (локально) в двучленное уравнение состояния (8.1) с некоторыми параметрами  (или р₀). Если нам повезет и будут выполнены условия (8.9), то все в порядке. Можно будет вычислить энтропию по формуле (8.3) и реализовать описываемый ее контроль.

    А если нет? Упираемся в уже упомянутую выше проблему. Судя по изложенному в статье [10], стр.782, «трудности возникают при наличии областей, где среда находится в состоянии фазового перехода между жидкостью и газом (кипящая жидкость). В такой области некоторые термодинамические величины, например, теплоемкость при постоянном давлении, обращаются в бесконечность, что недопустимо для двучленного уравнения состояния». Это вынудило автора [10] отказаться от такого пути.

    В связи с этим возникает серьезный вопрос о допустимости вообще уравнений состояния, не удовлетворяющих термодинамическому тождеству. Не собираемся ли мы бороться с «нефизическими» решениями (типа разрывов, на которых убывает энтропия) в «нефизических» условиях, которые сами же допускаем?

Заключение

 

    Как следует из названия настоящей работы, главной ее целью автор считает изложение метода контроля поведения энтропии в ходе выполнения расчетов газодинамических течений. Описанные в ней практические алгоритмы такого контроля просты и могут быть использованы при выполнении расчетов для разнообразных известных и широко используемых методов. Как правило, сами эти методы настолько сложны, что вполне могут «скрытно» допускать при численной реализации нефизические решения, в частности, газодинамические ударные волны разрежения.

    Решающую роль сыграла возможность аналитически разобраться в вопросе о поведении энтропии на примере очень простой и изящной разностной схемы С, опубликованной в работе [4]. При этом, к сожалению, получили подтверждение опасения о возможности реализации таких разрывов, на которых уменьшается энтропия. Следовательно, они по существу аналогичны ударным волнам разрежения.

    Автор предвидит возможные возражения, напр., такого характера: «А зачем нам энтропия? Аэродинамические нагрузки определяют давление и плотность, а их мы считаем хорошо».

    Ну, что же, возможно, в таких задачах и можно не обращать внимание на энтропию. (Хотя и здесь есть подозрение: не слишком ли хорошо? Но ведь этим не исчерпывается круг задач, которые приходится решать.

    В качестве поддержки своей позиции автор предлагает обратиться к стр.5 работы [13]. Там сказано, что дополнительное требование неубывания энтропии «позволяет в классе всех возможных кусочно-гладких решений газодинамических уравнений выделить единственное физически реализуемое, отбросив решения с термодинамически аномальным поведением, вроде ударных волн разрежения. Таким образом, задача построения разностного алгоритма расчета газодинамических течений общего вида не сводится к выбору разностной схемы для системы дифференциальных уравнений, а является гораздо более сложной задачей».

    Идентичное по содержанию мнение С.К.Годунова автор цитировал на стр.100 работы [1].

    На стр.7 работы [13] отмечаются трудности правильного моделирования изменения энтропии, поскольку на разностной сетке гладкие волны сжатия формально неотличимы от размазанных ударных фронтов. В то же время на гладких участках энтропия должна сохраняться, а на фронтах разрывов – расти.

    Автор обращается с предложением к специалистам, конструирующим алгоритмы, и тем, кто считает газодинамические задачи. Осуществлять в процессе расчета описанный в настоящей работе контроль энтропии для специалистов, располагающих реализованными алгоритмами, не должно составлять большого труда. (Конечно, из соображений экономии возможен и выборочный контроль наиболее «ответственных» мест по пространству и времени.) При этом автоматизированный контроль энтропии совсем не обязательно предполагает остановку расчета (если этого не хочет исполнитель, даже в неблагополучной ситуации). Важно, что о таких ситуациях контроль может сообщать исполнителю и подготовить его к тому, что результаты расчета могут оказаться сомнительными (или, напротив, что с энтропией все благополучно). Одновременно будет накапливаться информация по обсуждаемому вопросу.

    Автор благодарен М.С.Гавреевой и А.В.Северину за помощь в оформлении работы.

Литература

 

1. Прокопов Г.П. Загадка метода Годунова.// Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Математ. моделир. физ.процессов. 2005, вып.4, с.98-101.

2. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под ред. С.К.Годунова.// М., «Наука», 1976, 400 с.

3. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений//М., ФИЗМАТЛИТ, 2001, 608 с.

4. Сафронов А.В. Разностный метод для уравнений газодинамики из соотношений на разрывах для вектора потока.// Материалы XVII Школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов», ЦАГИ, 2006.

5. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.// М., Изд-во иностр. литер., 1955, 480 с.

6. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Method for Fluid Dynamics.// Springer – Verlag. Second Edition, June 1999.

7. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики.// Матем. сб., 1959, 47, вып.3., с.271-306.

8. Прокопов Г.П., Степанова М.В. Расчет осесимметричного взаимодействия ударной волны с затупленным телом, движущимся со сверхзвуковой скоростью.// Препринт АН СССР, 1974, №72, 26 с.

9. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках.// Изд-во «Наука», Гл.ред.физ.-мат.лит., М., 1970, 112 с.

10. Чарахчьян А.А. Об алгоритмах расчета распада разрыва для схем С.К.Годунова.// ЖВМиМФ, 2000, 40, №5, с.782-796.

11. Прокопов Г.П. Аппроксимация табличных уравнений состояния для расчета газодинамических задач.// Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2004, №80, 28 с.

12. Прокопов Г.П. Исследование формул аппроксимации табличных уравнений состояния в переменных температура-плотность.// Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, №26, 28 с.

13. Забродин А.В., Софронов И.Д., Ченцов Н.Н. Адаптивные разностные методы математического моделирования нестационарных газодинамичес-ких течений. (Обзор).// Вопросы атомной науки и техники. Серия: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1988, вып.4, с.3-22.