Эквивалентность процентных ставок

 

Часто при расчётах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалентных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях даёт одинаковые финансовые результаты.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем:

 

1. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S).

2. На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности.

3. Путём соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

 

Обозначения:

i – простая годовая ставка ссудного процента;

d – простая годовая учётная ставка;

i_c – сложная годовая ставка ссудного процента;

d_c – сложная годовая учётная ставка;

j – номинальная ставка ссудного процента;

f – номинальная учётная ставка.

 

Повторить все формулы:

1. Простая декурсивная

2. Простая антисипативная

3. Сложная декурсивная

4. Сложная антисипативная

5. С начислением несколько раз в год (декурсивная, антисипативная)

 

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

 

Пример:

Отсюда:

 

 

Пример 2: Сложная и простая декурсивная.

 

Сравнение доходности ценных бумаг:

 

Доходность определяется по эффективной ставке, в качестве которой выступает сложная декурсивная. Но методики начисления процентов по разным активам различны. Чтобы сравнить – выразить номинальную ставку в виде эффективной.

Полученная годовая ставка, эквивалентная номинальной процентной ставке называется эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные в случае, когда используются различные интервалы начисления.

Значение эффективной ставки больше номинальной.

 

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.

 

Можно определить также процентную ставку, эквивалентную данной, когда начальные условия полностью или частично не совпадают. Данная ситуация может возникнуть, например, если есть возможность выбора между различными коммерческими предложениями.

 

Задача:

 

Какова должна быть сложная учётная ставка d_c, чтобы сумма Р₁, вложенная под эту ставку на n₁ лет, достигла той же величины, что и сумма Р₂, вложенная под сложную ставку ссудного процента i_c на n₂ лет?

Поскольку результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности:

Отсюда:

Аналогичные зависимости можно получать для любых видов процентных ставок.

 

Принцип эквивалентности также используется при решении вопросов финансовой эквивалентности будущих платежей.

Пример:

Как определить, что выгоднее, заплатить сумму S₁ через n₁ лет или сумму S₂ через n₂ лет? Считаем S₁<S₂  и n₁<n₂. Для примера возьмём сложную ставку ссудного процента.

Для сравнения нужно найти современные стоимости этих платежей Р₁ и Р₂.

Очевидно, что для i_c=0 S₁=P₁ и S₂=P₂. След-но: Р₁<P₂ выгоднее выплачивать меньшую сумму S₁.

Т.к. n₁<n₂ при увеличении i_c наступает момент, когда Р₁>P₂ См. рисунок:

 

P   P2   P1                            i0 ic

 

Т.е.

 

 

Откуда:

Вывод:

 

Для всех i_c<i₀ предпочтительнее вариант с меньшей суммой и меньшим сроком. Для i_c>i₀ – с большими. При i_c=i₀ финансовые результаты обеих операций эквивалентны. Аналогичные формулы могут быть получены для всех видов процентных ставок.